Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015

тий, есть g1 + g2 за вычетом их площади пересечения (иначе мы бы

эту площадь учитывали два раза), т.е. одновременного наступления (произведения) событий C = A B.

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий P(A +

+B + C) = P(A) + P(B) + P(С) − P(A B) − P(A С) − P(B С) − P(A B С).

Теорема умножения вероятностей

Прежде чем говорить о теореме умножения, введем понятие условной вероятности события.

Условной вероятностью события A относительно B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что произошло событие B. Обозначается это так: P ( A/B) . Например, событие B

заключается в том, что по дороге в МИФИ вы встретили блондинку, а событие A состоит в том, что у нее при этом оказались действительно зеленые глаза, а не линзы. Тогда смысл теоремы умножения вероятностей состоит в том, что вероятность встретить блондинку с зелеными глазами P(A B) равна произведению вероятности встре-

тить просто блондинку P(B) , умноженную на вероятность того, что у этой блондинки зеленые глаза P(A/B) .

Теорему умножения вероятностей сформулируем следующим образом.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них на условную вероятность другого

Для доказательства обратимся к рис. 2.1,б. Пусть площадь пересечения областей D1 и D2 есть g3 ... Тогда вероятность произве-

дения событий A и B есть вероятность попадания точки в пересечение этих областей. Используя понятие геометрической вероятно-

сти, получим P(AB) = gG3 . Вероятность события A есть P(A) = gG1 ,

16

Можно показать, что для n событий теорема умножения вероятностей будет иметь вид

P(A1 A2 ... An ) = P(A1) P(A2 /A1) ... P( An /A1 A2 ...An−1).

Условие независимости событий выражается соотношением

P(A/B) = P(A) или P(B/A) = P(B).

Следствия:

1) если A не зависит от B, то и B не зависит от A. Действительно, если событие A не зависит от события B, то есть

P(A/B) = P(A) , то, применяя теорему умножения вероятностей в форме P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) , получим P(B/A) = P(B);

2) вероятность произведения двух независимых событий есть

P(A B) = P( A) P(B) ,

Для произвольного числа событий P(A1 A2 ... An ) =

= P( A1) ... P(An ) .

Анекдот. Задаю на экзамене студенту ИИМ вопрос: «Какова вероятность того, что при бросании шестигранной игральной кости выпадет 6 очков?» Cтудент, ненадолго задумавшись, ответил: «Один делить на шесть». Я: «Правильно, а если два раза бросить кость, какова вероятность, что и при первом, и при втором броске выпадет 6 очков?» Студент задумался надолго и ответил: «одна двенадцатая». Тут задумался я и решил проверить: умеет ли студент МИФИ складывать дроби. (Типичная ошибка для менеджеров, когда складывают числители и знаменатели.) Говорю: «Вы, видимо, вместо теоремы умножения вероятностей использовали здесь теорему сложения и сложили одну шестую с одной шестой?» Ответ: «Ну, да». Я: «А как вы складывали дроби? » Студент: «Ну как, сложил знаменатели». Я (невинным голосом): «А что же вы числители-то не сложили?». Студент: «Ну, это было бы уже слишком!» На самом деле, видимо студент складывал и

17

числители, но тогда получалось 16 + 16 =122 и после сокращения на

двойку опять получается 16 ! Но это уже было с одной костью!

Понимая, что здесь другая ситуация, студент не складывал числители!

Теорема о полной вероятности

Теорема. Вероятность некоторого события A , которое может произойти вместе с одним из событий H1...H n , которые образуют

полную группу несовместных событий (гипотез), равна

Доказательство. Так как гипотезы H1...H n образуют полную группу несовместных событий, то событие A может появиться

Так как гипотезы не совместны, то Hi A и H j A несовместны,

следовательно, применима теорема о сумме вероятностей несовместных событий. Применяя ее, получим

Применяя затем к каждому из слагаемых теорему умножения ве-

18

условные вероятности появления события A с каждой из этих гипотез P(A/H1)...P(A/H n ) . Пусть в результате опыта наблюдено появ-

ление события A . Тогда вероятность гипотез переопределим следующим образом:

i=1

Доказательство. Из теоремы умножения вероятностей следует, что

P(A Hi ) = P(A) P(Hi /A) = P(Hi ) P(A/Hi );

Пример. Три молодых человека ухаживают за девушкой, жаждут встречи с ней, а потому вечерами дежурят около ее подъезда. Естественно, ни один из них не хочет в это время встречаться с остальными. Обозначим: H1, H 2 , H3 − события, состоящие в том,

что, соответственно, первый, второй или третий поклонник находятся у подъезда в 20.00. Понятно, что события H1, H 2 , H3 обра-

зуют полную группу несовместных событий. Какова вероятность события B, обнаружить девушку в означенное время с одним из

поклонников, если мы знаем:

1.Вероятности появления каждого из поклонников в это время

уподъезда. Пусть, по нашим представлениям, это будет, напри-

мер, P(H1) =0,4, P(H 2 ) =0,4, P(H3 ) =0,2.

2. Вероятность того, что девушка выйдет из подъезда, увидев

девушки либо экзамены, либо она смотрит передачу «Дом-2», либо ждет другого поклонника.

Но а если всё-таки событие B произошло. Ведь вероятность P(B) =0,18 не означает невозможности! Тогда следует переопре-

19

делить первоначальные (априорные) вероятности гипотез в соответствии с формулой Байеса и найти апостериорные вероятности

гипотез: P(H i /B) = P(Hi )P(B/Hi ) . Подстановка численных значе- P(B)

ний дает: P(H1 /B) =0,22, P(H 2 /B) =0,22, P(H3 /B) =0,56. Таким образом, мы ошибались в определении вероятности появления поклонников, но незначительно.

Данный пример можно переформулировать и так. Некий «менеджер» хочет продать некий продукт фирме. В фирме в данный момент безвластие и претендуют на пост генерального директора три человека. Только «менеджер» знает, какова вероятность

каждому из претендентов занять этот пост: P(H1), P(H 2 ), P(H3 ) . В зависимости от того, кто станет директором, вероят-

ность продажи разная, но по оценкам менеджера, учитывающим марку автомобиля, качество жилья, частоту посещений ресторана, казино, а следовательно, и требуемый объем «отката» для каждого из претендентов, он оценили условные вероятности: P(B/H1), P(B/H 2 ), P(B/H 2 ) . Спрашивается: какова вероятность

продать этот продукт?

Лекция 3. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известно заранее, какое именно.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называют случайную величину, которая принимает

отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины образует счетное множество.

Например, число атомов, распадающихся в единицу времени или число студентов, присутствующих на лекциях по данному предмету.

20