Материал: Загребаев Лектсии по теории вероятностеы и математическоы статистике 2015
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Например, сила тока в электрической цепи или время опоздания студента на лекцию.
Случайная величина считается полностью определённой с вероятностной точки зрения, если существует соотношение между значениями случайной величины и соответствующим им вероятностями. Такое соотношение называется законом распределения случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины
Закон распределения дискретной случайной величины X считается заданным, если известны все ее возможные значения x1, x2 , , xn и вероятности их появления P(x1) = p1, P(x2 ) = = p2 P(xn ) = pn . В дальнейшем большими буквами будем обо-
значать случайную величину, а малыми – конкретные ее значения, которые могут появиться в результате опыта.
Так как это событие, т.е. появление конкретных значений, образует полную группу несовместных событий (действительно, не может же одна случайная величина в одно и то же время иметь два
значения!), то n P(xi ) =1 . Про-
i=1
стейшей формой задания дискретной случайной величины является табл. 3.1 (ряд распределения).
Пример. Пусть случайное число X − это число появлений «герба» при двукратном бросании монеты. Требуется составить ряд распределения. Понятно, что случайная величина X может принимать лишь три значения: 0 – «герб» не выпадет ни разу, 1 – «герб» выпадет один раз, 2 – два раза. Легко посчитать вероятно-
сти этих событий. Обозначим A1 − событие, заключающееся в вы-
21
падении «герба» при первом броске ( A1 − выпадение «решки» при первом броске), A2 − выпадение «герба» при втором броске ( A2 −
выпадение «решки» при втором броске). Используем теоремы сложения и умножения вероятностей. Пусть вероятность выпадения «герба» при однократном бросании монеты p . (Понятно, что
p =0,5.) Тогда, вероятность не выпадения герба равна 1− p . Так
как результаты при бросании монеты первый и второй раз не зависят друг от друга, то событие C, заключающееся в том, что «герб» не выпадет ни первый, ни второй раз, есть произведение
событий C = A1A2 , и по теореме о вероятности произведения событий получимP(0) = P(A1)P(A2 ) =0,5 0,5 =0, 25. Аналогично, вероятность того, герб выпадет два раза подряд, есть P(2) =
= P( A1)P( A2 ) =0,5 0,5 =0, 25.
Событие B, состоящее в выпадении «герба» один раз при двукратном бросании монеты, есть B = A1A2 + A1A2 . Действительно, для реализации события C необходимо, чтобы «герб» выпал либо при первом, либо при втором броске. Понятно, что события A1A2 и A1A2 несовместны, поэтому можно использовать теорему сложения вероятностей P(B) = P(A1 A2 ) + P( A1A2 ) и, применяя затем теорему умножения вероятностей, получим P(B) = P( A1)P(A2 ) + +P(A1)P(A2 ) =0,5.
Ряд распределения имеет вид табл. 3.2.
Графическое представление ряда распределения называют многоугольником распределения. В данном случае он имеет вид, представлен-
ный на рис. 3.1.
22
Рис. 3.1. Число выпадений «герба» при двукратном бросании монеты
Биномиальное распределение
Рассмотренный выше пример является частным случаем такой ситуации: пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие A, пусть вероятность появления события в каждом опыте одинакова и равна p, а вероятность непоявления, соответственно, q = 1− p . Тре-
буется определить, |
какова вероятность появления в результате n |
||||
опытов события A ровно m раз? |
|
|
|
|
|
Ответ на этот вопрос дает формула Бернулли: |
|
||||
P (m) = C m pnqm = |
n! |
pmqn−m. |
(3.1) |
||
|
|
||||
n |
n |
m!(n − m)! |
|
|
|
|
|
|
|
||
Это и есть биномиальный закон распределения. Название его произошло от того, что данная формула с точностью до обозначений совпадает с формулой бинома Ньютона. В самом деле, для всех действительных чисел a и b, и натуральных чисел n и m справедли-
n
во соотношение (a + b)n = Cnman−mbm , где Cnm − число сочета-
m=0
ний (комбинаций) из n по m. Если вы забыли смысл сочетаний, то напомню, что это их соединения, отличающиеся друг от друга толь-
ко самими элементами. Например, пары {s1 , s2} , {s1, s3} , {s1, s4} , {s2 , s3} , {s3, s4} , {s2 , s4} исчерпывают все сочетания из четырех элементов по два. Возвращаясь к предыдущему примеру с монетой
23
( n = 2, m = 0, m = 1, m = 2 ), получим |
P (0) = |
2! |
(0,5)0 (0,5)2 |
= 0, 25 , |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0!2! |
|
|
||
|
|
2! |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
||
P (1) |
= |
(0,5)1(0,5)1 |
= 0,5 , |
P (0) |
= |
(0,5)0 (0,5)2 = 0,25 . Как |
||||||
|
|
|||||||||||
2 |
1!1! |
|
|
2 |
0!2! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
видите, очень полезный закон.
Пример. Рассмотрим пример, близкий к вашей будущей специальности – «инновационный менеджмент». Допустим, вы хотите продать некий интеллектуальный продукт. У вас есть 10 потенциальных покупателей ( n =10 ). Причем вероятность продать каждому из них одна и та же и равна p = 0,2 . Спрашивается, ка-
кова вероятность продать продукт m покупателям? Желательно знать это значение вероятности для различных m = 1,...10 ? Счи-
тать вручную по вышеприведенной формуле долго и лишено необходимости. В настоящий момент практически во всех математических пакетах MatLAB, MathCAD, Maple и др. есть разделы, связанные с решением задач теории вероятностей и статистики. Есть такая возможность и в хорошо вам известной программе Exel. Покажем, как это можно сделать. Откройте программу Exel. Введите информацию, представленную в первых 6 строчках на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Биномиальные вероятности
24
Введите значения от 0 до 10 в ячейки A7:A17. Выделите ячейку B7 и в меню «Вставка» выберете команду «Функция». В диалоговом окне «Мастера функций» выберете в списке категорий «Статистические» и функцию «БИНОМРАСПР». Нажмите OK. (Сокращенно указанный порядок действий можно записать так:
Вставка → Функция → Мастер функций → Статистические → БИНОМРАСПР.)
В окне «Аргументы функции» (рис. 3.3) заполните строки в соответствии с рисунком.
Рис. 3.3. Диалоговое окно БИНОМРАСПР
1.Выделите ячейку С7 и повторите шаги 3 и 4, но введите 1 в качестве аргумента строку «Интегральная».
2.Введите формулы в ячейки D7, E7 и F7, показанные на рис. 3.4.
3.Чтобы скопировать формулы, выделите ячейки B7:F7. Скопируйте их в буфер (нажмите клавиши Ctrl-C). Перетащите маркер заполнения в правом нижнем углу ячейки F7 к ячейке F17. Перед вами теперь должен появиться рисунок 3.2, на котором показаны результаты расчетов. В столбце B7:B17
находятся значения вероятностей того, что вы продадите продукт, соответственно, m покупателям. Если m = 0 , то никому не продадите, если m =1, то одному из покупателей и
25