Материал: Зависимость между электрическим сопротивлением и размером монокристаллических наноструктур из висмута

В наше время размеры элементов электронных цепей достигли настолько малых масштабов, что действующие в них законы классической физики начинают сменяться эффектами характерными только для квантовой физики. Это связано прежде всего с тем, что при ограничении движения носителей зарядов происходит квантование их энергетических уровней. В следствие этого происходит изменение физических свойств материала. Такие эффекты принято называть квантовыми размерными эффектами (КРЭ) и проявляются они в телах, размеры которых сопоставимы с длиной волны де Бройля. Возникновение таких эффектов накладывает некоторые фундаментальные ограничения на дальнейшую минитюаризацию электронных устройств.

Первые работы по изучению квантовых размерных эффектов были опубликованы ещё в 1960ых годах, однако интерес к КРЭ не утихает до сих пор. Такой интерес вызван тем, что электрические характеристики материалов, при сверхмалых размерах, меняются под действием КРЭ настолько сильно, что это приводит к возникновению принципиально новых ограничений при производстве микро- и наноэлектроники нового поколения. Поэтому исследованием КРЭ занимаются не только учёные со всего мира, но и ведущие производители процессоров. За прошедшие десятилетия технический прогресс шагнул далеко вперёд, поэтому эксперименты по выявлению КРЭ становятся не только точнее, но и проводятся на структурах ранее не доступных для производства. Если в первых научных исследованиях изучались двумерные плёнки [1,2], то в работах за последнее десятилетие исследовались не только плёнки, но и различные одномерные структуры: микроциллиндры [3], точечные контакты [4,5], а также нанопровода [6,7]. Однако, несмотря на обилие работ по данной тематике, сопоставление экспериментальных данных с теорией не всегда является однозначным, а порой и вообще носит спекулятивный характер.

Несмотря на то, что квантовый размерный эффект - универсальное явление, которое должно присутствовать во всех материалах, его подавляющее большинство экспериментов проводилось лишь на нескольких металлах, в основном это сурьма или висмут, а также их сплавы. Это связано с тем, что в большинстве металлов эффективная масса электронов равна или близка по значению с массой покоя электрона m_e*=m_e, в то время как висмут и сурьма обладают низким уровнем Ферми и малой эффективной массой электронов. Таким образом проявление КРЭ, в этих двух материалах, следует ожидать на вполне достижимых масштабах, в отличии от типичных металлов, в которых КРЭ проявляется на масштабах порядка нескольких нанометров.

В данной выпускной квалификационной работе исследуется зависимость между электрическим сопротивлением и размером монокристаллических наноструктур из висмута. Главной целью работы была теоретическая интерпретация проведённого ранее эксперимента. Необходимо было построить теоретические зависимости сопротивления от размеров наноструктур (в нашем случае эффективного диаметра нанопровода) и определить при каких параметрах достигается наилучшее согласие теории с экспериментом.

Квантовый размерный эффект

В кристалле, размеры которого вдоль одного или нескольких направлений не превышают длину волны де Бройля (1), проявляются качественно новые эффекты, отсутствующие в массивных телах, в следствии чего происходит изменение его кинетических и термодинамических свойств.

где p=mv есть импульс частицы, а h - постоянная Планка. Такие изменения вызваны квантованием энергии носителей зарядов в «потенциальной яме» (в нашем случае потенциальной ямой служит сама наноструктура) и называются квантовыми размерными эффектами (КРЭ).

Для наглядности рассмотрим движение свободного электрона с массой m в одномерной потенциальной яме длиной L (рис. 1.).

Рис. 1. Изображение потенциальной ямы длиной L, с первыми четырьмя энергетическими уровнями свободного электрона с массой m. Тонкой линией показаны энергетические уровни, а жирным линиям соответствуют волновые функции частицы в каждом из состояний. n - квантовое число, отвечающее каждому энергетическому уровню, и равно целому числу полуволн укладывающихся на длине L.

Для области, лежащей в отрезке 0<x<L одномерное уравнение Шрёдингера имеет следующий вид:

где штрих обозначает дифференцирование по координате x, m - масса частицы, приведённая постоянная Планка, E - энергия частицы. Исходя из того, что с двух сторон яма ограничена бесконечно высокими потенциальными барьерами, разумно использовать следующие граничные условия:

Волновая функция, имеющая синусоидальную форму, будет автоматически удовлетворять заданным граничным условиям [8]. Таким образом волновые функции даются формулой (4), а энергетические уровни квантовых состояний формулой (5). В данном случае n является целым числом полуволн, которые помещаются на интервале от 0 до L.

Таким образом, можно ограничить движение носителей заряда изготовив кристалл, размеры которого в одном из направлений будут меньше или приближённо равны длине волны де Бройля. Поместив носители в такую искусственно созданую потенциальную яму, их энергетический спектр станет \ дискретным. В массивных телах энергетический спектр является непрерывным, поэтому такое изменение спектра приведёт и к качественному изменению электронных свойств материала, например: коэффициента Холла, удельного сопротивления, магнетосопротивления, оптических характеристик, теплопроводности материала и так далее [9]. По мере уменьшения размеров образца, энергетические уровни будут сдвигаться вверх по шкале энергий и тем самым пересекать уровень Ферьми, в связи с этим, плотность состояний вблизи уровня Ферми будет колебаться между более высокими значениями и более низкими. Электроны, лежащие близко к уровню Ферми, отвечают за электрическую проводимость в металлах, поэтому изменение плотности состояний приведёт к тому, что сопротивление начнёт изменяться немонотонным образом по отношению к размерам образца. Таким образом, сопротивление образца измеренное как функция, зависящая от поперечного сечения образца, будет демонстрировать осциллирующее немонотонное поведение. В конечном счёте должен произойти переход образца из металла в диэлектрик, так как после пересечения последним свободным электронным состоянием уровня Ферми произойдёт образование энергетической щели между валентной зоной и зоной проводимости [10]. Из этого утверждения вытекает тот факт, что уровень Ферми сам по себе должен быть относительно стабилен по сравнению с расстоянием между уровнями энергии электронных состояний. Это очень важное замечание потому что энергия Ферми изначально не имеет фиксированного значения и самосогласованно определяется энергетическим спектром. А поскольку энергетические уровни изменяются как функция от размеров, следует учитывать, что энергия Ферми также будет меняться. В избежание изменения энергии Ферми и для её «стабилизации» желательно, чтобы в металле присутствовали и другие носители заряда с большой эффективной массой. В таком случае можно будет принебречь КРЭ для них, и считать, что положение уровня Ферми не изменяется вместе с размером.

На рисунке 2 представлено схематичное изображение электронных состояний в металле, отвечающих вышеупомянутому условию. КРЭ для «тяжёлыъ» дырок значительно менее выражен, чем для электронов, это хорошо видно из формулы (5). Таким образом расстояние между двумя смежными энергетическими уровнями обратно пропроциально эффективной массе . По этой причине, диапазон энергий, покрываемый дырками от уровня Ферми и до самой вершины валентной зоны гораздо меньше чем диапазон энергий, покрываемый электронами (от самого низа зоны проводимости до уровня Ферми соответственно). Поэтому с уменьшением размеров «тяжёлые» дырки не вносят такого же вклада как «лёгкие» электроны [11]. И уровень Ферми, таким образом, является относительно «стабильным» и находящимся достаточно близко к вершине валентной зоны в материале, в котором эффективная масса дырок значительно больше чем эффективная масса электронов.

Рис. 2. Схематичное изображение электронных состояний в металле с двумя типами носителей заряда: «лёгкие» электроны и «тяжёлые» дырки.

Исходя из выше сказанного, очевидно, что - ещё одним условием для проявления квантовых размерных эффектов является тот факт, что тепловая энергия носителей должна быть меньше чем расстояние между соседними энергетическими уровнями E_n₊₁ и E_n (6).

Если это условие не будет выполненно, то из-за частых переходов носителей между уровнями квантовые эффекты будут «размыты». При этом вырожденный электронный газ характеризуется энергией Ферми, поэтому также должно выполнятся условие (7),

следует заметить, что при выполнении условия (7) автоматически выполняется и условие (6). Если данное условие не будет выполненно, то КРЭ будут вносить малый вклад в наблюдаемые величины, в связи с тем, что большое количество квантовых уровней будет заполнено [9].

Однако на практике этих требований не достаточно для наблюдения КРЭ. Одной из проблем является рассеивание электронов. Интенсивность рассеяния, как правило, связывают со временем релаксации, которое в свою очередь прямо пропорционально длине свободного пробега. Эту величину обычно и учитывают при проведении экспериментов - для наблюдения КРЭ необходимо, чтобы длина свободного пробега l была сравнима с размером области L, в которой происходит движение частицы. Поэтому при экспериментальных исследованиях квантовых эффектов измерения проводятся при низких температурах и чистых монокристаллах. С уменьшением температуры растёт и длина свободного пробега, так например, средняя длина свободного пробега l для монокристалла меди при комнатной температуре (300 К) примерно равна 3*10^-6 см, а при температуре жидкого гелия (4.2 К) составляет порядка 0,3 см [8]. Отклонение структуры монокристалла от идеальности, приводит к нетепловому размытию энергетических уровней, которое формально может быть охарактеризовано некой величиной, которую исторически называют температурой Дингла T_D. В «хороших» массивных образцах висмута температура Дингла может быть порядка нескольких градусов Кельвин. Следовательно, ещё одним условием наблюдения КРЭ, накладываемым качеством кристалла, является: .

Особенности исследования КРЭ

Итак, для наблюдения размерных эффектов, вызванных квантованием энергетических уровней в металле, необходимо, исходя из предыдущей главы, уменьшить исследуемое тело настолько, чтобы его размеры были сопоставимы с длиной волны де Бройля. Если же размеры образца будут много больше этого параметра, то расстояние между квантованными уровнями энергии будут так малы, что при реально достижимых температурах произойдёт их перекрытие и наблюдение КРЭ в таком теле станет практически невозможным. Поэтому ключевым остаётся требование (6), а именно расстояние между соседними энергетическими уровнями вблизи значений энергии Ферми должно превышать тепловую энергию носителей заряда. К сожалению, расчёты показывают, что для металлов с высокой концентрацией электронов, таких как Cu, Al, Au и т.д. энергия Ферми имеет значение порядка 1 эВ, а в следствии того, что эффективные массы электронов в этих металлах дотаточно велики m_e^*≈m_e, то для удовлетворения вышеуказанного условия требуются размеры тела около L~1 нм [12]. На практике произвести настолько маленькие структуры не представляется возможным. Ко всему прочему образец должен быть изготовлен «чистым», чтобы избежать дополнительных рассеиваний из-за наличия в образце примесей и/или прочих дефектов, что формально соответствует низкой температуре Дингла. А поверхность тела должна быть как можно более гладкой для того чтобы характер отражения носителей от поверхности был зеркальным. Для реализации зеркального отражения на границах необходимо, чтобы шероховатости поверхности имели размеры гораздо меньшие чем длина волны носителей. Это поможет не нарушить условие l>>L и избежать эффективного рассеяния на границах образца [9].

Исходя из вышесказанных условий: больше всего для изучения КРЭ подходят монокристаллы полуметаллов. Полуметаллы обладают низкой концентрацией носителей зарядов, в среднем, 10¹⁸-10²⁰ см^-3, большой подвижностью носителей и малой эффективной массой [13]. Поэтому для исследования КРЭ лучше всего подходят вещества именно этой группы.

В научных работах по исследованию размерных эффектов как правило используют сурьму или висмут, они обладают всеми нужными параметрами для хорошего экспериментального наблюдения КРЭ [14]. Однако в данной работе выбор был остановлен на висмуте, так как он обладает рядом преимуществ по сравнению с сурьмой. Висмут имеет низкую энергию Ферми, порядка E_F≈30 мэВ, в то время как, при температуре жидкого гелия (4.2 К) тепловое уширение энергетических уровней, k_BT≈0.4 мэВ, а уменьшая размеры висмутового нанопровода можно получить расстояние между энергетическими уровнями порядка ~10 мэВ вполне реальная задача. Средняя длина пробега носителей заряда в объёмном образце достигается l≈1 мм при температуре жидкого гелия. Немаловажным фактором при выборе висмута сыграло то, что он имеет относительно стабильную энергию Ферми. Это вызванно большой разницей между эффективными массами лёгких электронов и тяжёлых дырок. В заключении стоит сказать, что произвести достаточно большие кристаллиты из висмута (~1 мкм) с гладкой поверхностью можно с помощью обычных литографических методов [10].

Источник: https://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=903284

Смотрите также:








Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»