Материал: 1073

мент относительно осей х и у – центробежным моментом инерции.

Моменты инерции относительно осей х и у, параллельных центральным осям х1, у1 (рис. 3), выражаются через моменты инерции относительно центральных осей согласно следующих равенств:

где а и b – расстояния от центральных осей х1, у1 до осей х, у. На рис. 3 величины а и b положительны.

В системе координатных осей u1, v1, повернутых на угол β относительно осей х, у (рис. 4), моменты инерции фигуры являются зависимыми от угла β. Изменением β можно получить Ju1v1 = 0. В этом случае один из осевых моментов инерции

(Ju1 или Jv1 ) будет максимальным, а другой – минимальным.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями.

Аналогично, в системе центральных осей u и v, повернутых на угол относительно осей х, у (рис. 4), можно найти такое значение угла , при котором Juv будет равен нулю, а моменты Ju и Jv примут экстремальные значения. Такие оси назы-

вают главными центральными осями.

Моменты инерции фигуры относительно главных центральных осей назы-

вают главными центральными момен-

Рис. 4. Системы координат- тами инерции. Например, Ju Jmax и ных осей

6

Jv Jmin или наоборот: Ju Jmin и Jv Jmax.

Если известны моменты инерции относительно каких-либо центральных осей х и у, то главные центральные моменты инерции фигуры вычисляются по формулам:

При положительных углах 0 или оси u, v необходимо повернуть относительно осей x, y против хода часовой стрелки (см. рис. 4), а при отрицательных углах – по ходу стрелки.

Второе и третье выражения являются предпочтительными, так как, например, второе выражение дает значение угла между осью х и осью, относительно которой момент инерции максимален. Следовательно, без дополнительного анализа определяется положение оси, относительно которой момент инерции будет наибольшим. Третье выражение (1.6) дает значение угла между осью y и осью, относительно которой момент инерции минимален.

1.3. Задания к работе № 1.

Задана фигура, составленная из двух фигур: поперечного сечения стандартного стального прокатного профиля и прямоугольника или треугольника. Требуется:

определить положение центра тяжести составной фигуры;

вычислить моменты инерции фигуры (осевые и центробежный) относительно произвольных центральных осей;

вычислить главные центральные моменты инерции;

определить положение главных центральных осей;

вычертить фигуру в масштабе, при этом показать все необходимые оси с указанием расстояний между ними, а также всех используемых размеров фигур, составляющих общую фигуру. Рисунок вы-

7

полнить на отдельном листе формата А4.

Варианты заданий: схемы фигур изображены на рис. 5, а исходные данные представлены в табл. 1.

Рис. 5. Варианты схем составных фигур

8

Для выполнения работы необходимо изучить теоретический ма-

териал, содержащийся в [1, гл. 4], [2, гл. 7], [3, гл. 2], [4, гл. 4], [5, гл. 2]. Сведения о размерах и геометрических характеристиках прокатных профилей приведены в [1 9].

1.4.Вопросы для самоконтроля

1.Как формулируется понятие статического момента площади фигуры относительно заданной оси?

9

2.Какие оси называют центральными осями?

3.Как определить положение центра тяжести простых фигур: прямоугольника, треугольника, полукруга?

4.Как определить положение центра тяжести составной фигуры?

5.Как вычислить осевые и полярный моменты инерции круга?

6.Как вычислить осевые моменты инерции прямоугольника и треугольника?

7.Какие оси называют главными осями?

8.Какие оси называют главными центральными осями?

9.Как вычислить главные центральные моменты инерции составной фигуры?

10.Как определить положение главных центральных осей составной фигуры?

1.5.Пример выполнения работы № 1

Впримере приняты схема, изображенная на рис. 6, и данные, представленные в табл. 2.

Исходные данные фигур

Швеллер № 18 (см. [1], стр. 553):

H 18 см – высота швеллера; b 7 см – ширина полки;

А 20,7 см2 – площадь поперечного сечения; Jmax 1090 см4 – наибольший момент инерции; Jmin 86 см4 – наименьший момент инерции;

z0 1,94 см – расстояние от наружной грани до центральной оси. Прямоугольник:

h1 0,75b 0,75∙7 5,25 см; h2 0,25b 0,25∙7 1,75 см; d 0,7b 0,7∙7 4,9 см;

10