Материал: 1073
Для построения эпюр вычисляются значения Q и М в характерных точках участка 2.
Q(0) RA 6,67 кН.
Q(2a) RA 2q 2a 6,67 4 10 1 33,33 кН.
М(0) RA a 6,67 1 6,67 кН м.
М(a) RA 2a q a2
6,67 2 1 10 12 3,33 кН м.
М(2a) RA(a 2a) q(2a)2
6,67 3 1 10 (2 1)2 20 кН м.
Так как в пределах участка знак поперечной силы изменяется, то М(z2) имеет на участке точку экстремума. Координата точки экстремума: z2 0,334a. Момент в точке экстремума:
М(0,334a) RA(a 0,334a) q(0,334a)2
6,67 1,334 1 10 (0,334 1)2
7,78 кН м.
Рис. 14. Эпюры Q и M для расчетной схемы 2
Задача 3
Эпюры Q и М, построенные по вычисленным значениям внутренних усилий в выбранных точках участков, изображены на рис. 14.
(расчетная схема 3, рис. 10в)
Определение реакции RA (рис. 15)
MB 0. |
1,5a |
|
|
RA 1,5a M q 1,5a |
F 1,5a 0. |
||
2 |
|||
|
|
Отсюда
RA 1,15a (M 12q 1,52a2 F 1,5a)
1,51 1(20 12 10 1,52 12 15 1,5 1) 9,17 кН.
Построение эпюр внутренних усилий Участок 1: 0 ≤ z1 ≤ 1,5a.
21
Выражения для Q(z1) и М(z1), полученные из уравнений равновесия левой части балки (см. рис. 15):
Рис. 15. Координаты сечений и схемы нагружения выделяемых частей балки
Рис. 16. Эпюры Q и M для расчетной схемы 3
Q(z1) RA };
М(z1) RA z1 M .
Для построения эпюр вычисляются значения Q и М в характерных точках участка 1.
Q const RA 9,17 кН. М(0) M 20 кН·м. М(1,5a) RA 1,5a M
9,17 1,5 1 20 33,75 кН м.
Участок 2: 0 ≤ z2 ≤ 1,5a.
Выражения для Q(z2) и М(z2), полученные из уравнений равновесия правой части балки (см. рис. 15):
Q(z2) F q(1,5a z2) ;
М(z2) F(1,5a z2) 12q(1,5a z2)2 .
Для построения эпюр вычисляются значения Q и М в характерных точках участка 2.
Q(0) F q 1,5a 15 10 1,5 130 кН.
Q(1,5a) F 15 кН. М(0) F 1,5a 0,5q(1,5a)2
15 1,5 1 0,5 10 1,52 12
33,75 кН м.
М(0,5a) F a 0,5q a2
15 1 0,5 10 12 20,0 кН м. М(a) F 0,5a 0,5q(0,5a)2
15 0,5 1 0,5 10 0,52 12
8,75 кН м.
М(1,5a) 0.
Эпюры Q и М, построенные по вычисленным значениям внутренних усилий в выбранных точках участков, изображены на рис. 16.
22
3. РАБОТА № 3. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
3.1. Цель работы
Целью работы является освоение практических навыков определения размеров поперечных сечений балок при плоском изгибе, обеспечивающих их прочность и жесткость.
3.2. Краткие теоретические сведения
Размеры поперечных сечений балок назначаются исходя из условий прочности и жесткости.
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:
max |
Mmax |
R, |
(3.1) |
|
|||
|
W |
|
|
|
и |
|
|
где max – максимальное нормальное напряжение в балке; Mmax – наибольший по модулю (расчетный) изгибающий момент; Wи – момент сопротивления сечения при изгибе; R – расчетное сопротивление материала (заданная величина).
Если определен расчетный изгибающий момент Mmax, то из условия (3.1) находится момент сопротивления сечения Wи, при котором обеспечивается прочность балки по нормальным напряжениям, т.е.
max R.
Таким образом, задача расчета балки на прочность заключается в определении требуемого момента сопротивления сечения согласно формуле (3.1):
M |
|
Wи Rmax . |
(3.2) |
Для решения задачи по эпюре M(z) находится Mmax и далее по формуле (3.2) вычисляется необходимая величина Wи. Так как форма поперечного сечения задается, то определяются и размеры сечения.
Условие жесткости по максимальному прогибу имеет вид:
vmax [v], |
(3.3) |
где vmax – наибольший по модулю (расчетный) прогиб; [v] – нормативный прогиб (заданная величина).
23
Если жесткость балки при изгибе EJ постоянна, то по методу начальных параметров составляется универсальное уравнение прогибов, по которому строится эпюра EJv. По эпюре определяется расчетная величина (EJv)max. Условие (3.3) в этом случае представляется в виде
|
(EJv) |
vmax |
EJmax [v]. |
Отсюда находится требуемый момент инерции сечения
(EJv)max |
|
J E[v] . |
(3.4) |
В итоге по формуле (3.4) определяется момент инерции, а следовательно, и размеры сечения, так как форма сечения известна.
При составлении универсальных уравнений метода начальных параметров необходимо руководствоваться следующими правилами.
1.Каждая распределенная нагрузка должна заканчиваться в конечной точке оси балки. Если имеющаяся нагрузка приложена не до конца балки, то ее необходимо продлить, а на тех участках, где нагрузка продлена, приложить противоположную распределенную нагрузку такой же интенсивности, что и продленная нагрузка.
2.Текущая координата сечения на каждом участке отсчитывается от начала балки.
3.Интегрирование дифференциальных уравнений, связывающих
величины Q, M, и v, ведется без раскрытия скобок, заключающих разность между текущей координатой сечения z и координатой начальной точки рассматриваемого участка.
3.3. Задания к работе 3
Заданы: схема балки; действующая нагрузка; форма поперечного сечения и др. величины, необходимые для расчета.
Требуется:
разбить балку на участки, обозначив длину каждого из них;
определить реакции опор;
записать аналитические выражения для внутренних усилий на каждом участке;
построить эпюры внутренних усилий в выбранном масштабе;
по эпюре определить максимальный по модулю изгибающий момент и назначить размеры поперечного сечения, используя условие прочности по нормальным напряжениям;
24
записать уравнения метода начальных параметров для моментов, углов поворота сечений и прогибов;
построить эпюры углов поворота и прогибов;
проверить правильность построения эпюр по дифференциальным зависимостям между моментами, углами поворота и прогибами;
найти максимальный по модулю прогиб и назначить размеры поперечного сечения по условию жесткости;
назначить окончательные размеры поперечного сечения по условиям прочности и жесткости.
Варианты заданий: расчетные схемы представлены на рис.17, а исходные данные приведены в табл. 5.
Дополнительно для всех вариантов принять: форму поперечного сечения балки – стандартный двутавровый профиль; расчетное сопротивление стали R 200 МПа; нормативный прогиб [v] a/300; модуль упругости стали E 2 105 МПа.
Для выполнения работы 3 необходимо изучить теоретический материал, содержащийся в [1, гл. 6, 8], [2, гл. 8], [3, гл. 4], [4, гл. 5, 10], [5, гл. 6].
3.4.Вопросы для самоконтроля
1.По какой формуле определяются нормальные напряжения в сечениях балки при чистом и поперечном изгибах?
2.Как распределены нормальные напряжения по сечению балки при изгибе?
3.Как записывается условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе?
4.Какой параметр в условии прочности используется для определения размеров сечения?
5.По какой формуле определяются касательные напряжения при поперечном изгибе? Как распределены эти напряжения по сечению?
6.Какими дифференциальными зависимостями связаны между собой внутренние усилия и перемещения при поперечном изгибе?
7.Как записываются уравнения метода начальных параметров для поперечной силы, изгибающего момента, углов поворота сечений
ипрогибов?
8.Перечислить начальные параметры уравнений метода начальных параметров при поперечном изгибе. Как они определяются?
25