Материал: 1700

с какой-нибудь другой цифры. В этих случаях в результате сохраняют на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Например, результат перемножения чисел 13,27 и 0,84 можно записать с тремя значащими цифрами:

13,27·0,84 ≈ 13,3·0,84 ≈ 11,2 (а не 11).

3. Результат расчёта значений функций xn, nx и lgx некоторого приближённого числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x.

Например, при возведении в куб приближённого числа 216 результат должен быть записан только с тремя значащими цифрами: 2163 ≈ 101·105.

1.3.Правила округления

1.Если первая отбрасываемая цифра больше 4, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Например, округляя число 27,3763 до сотых, следует записать 27,38.

2.Если первая отбрасываемая цифра ≤4, то последняя

сохраняемая цифра не изменяется. Например, округляя число 13847 до сотен, записывают 138·102.

3.Если отбрасываемая часть числа состоит из одной цифры 5, то число округляют так, чтобы последняя сохраняемая цифра была чётной. Например, при округлении до десятых 23,65≈23,6, но

17,75≈17,8.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше (так называемая запасная цифра, которая в окончательном результате отбрасывается), чем рекомендуют правила подсчёта цифр. Если некоторые приближённые числа содержат больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня и т. д.), чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя только одну лишнюю цифру.

5

2. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Измерение физической величины заключается в её сравнении с однородной ей физической величиной, принятой за единицу.

Различают два типа измерений физических величин – прямые и косвенные. При прямом измерении значение искомой величины непосредственно определяется с помощью прибора, измеряющего саму эту величину. Например, размеры тела можно непосредственно измерить линейкой, штангенциркулем, микрометром; массу тела можно найти путём прямого измерения – взвешивания на весах; продолжительность какого-либо процесса можно непосредственно измерить секундомером, а силу электрического тока в цепи – амперметром.

При косвенном измерении значение искомой физической величины находят, основываясь на результатах прямых измерений других физических величин, с которыми эта величина связана известной функциональной зависимостью. Например, среднюю плотность тела можно вычислить, пользуясь результатами прямых измерений массы и объёма этого тела; электрическое сопротивление проводника можно найти из закона Ома, если известны результаты прямых измерений силы тока в проводнике и напряжения на его концах.

В зависимости от выбора метода измерений значения некоторых физических величин можно определить путём как прямых, так и косвенных измерений. Например, силу постоянного тока в электрической цепи можно непосредственно измерить амперметром, а можно косвенно – по измеренной величине напряжения на образцовом сопротивлении, включённом в цепь последовательно. Объём шарика можно найти путём прямого измерения, погружая его в жидкость, налитую в мерный цилиндр, а можно вычислить, измерив диаметр шарика.

Косвенные измерения могут быть осуществлены при

воспроизводимых контролируемых условиях и при невоспроизводимых контролируемых условиях. Контролируемые условия воспроизводимы, если несколько раз производятся измерения, например, массы и объёма одного и того же образца, невоспроизводимы, если измеряются массы и объёмы тел различной конфигурации, но одного и того же состава.

6

Из-за действия множества искажающих факторов результат каждого отдельного измерения физической величины не совпадает с её истинным значением. Разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется

погрешностью результата измерения.

Различают три типа погрешностей измерений: грубые ошибки (промахи), систематические и случайные погрешности.

Грубые ошибки, или промахи, обычно бывают связаны с неисправностью измерительной аппаратуры, либо с ошибкой экспериментатора в отсчёте или записи показаний приборов, либо с резким изменением условий измерений. Результаты измерений, соответствующих грубым ошибкам, нужно отбрасывать и взамен проводить новые измерения.

Систематическими погрешностями измерений называются погрешности, которые при многократном измерении одной и той же величины остаются постоянными либо изменяются по определённому закону. Систематические погрешности включают в себя методические и приборные погрешности измерений.

Методические погрешности вызываются недостатками применяемого метода измерений, несовершенством теории физического явления и неточностью расчётной формулы, используемой для нахождения измеряемой величины. Методические погрешности можно уменьшить путём совершенствования метода измерений, а также введения уточнений в расчётную формулу.

Приборные погрешности вызываются несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов (инструментов). Уменьшение приборной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако полностью устранить приборную погрешность невозможно.

Случайными погрешностями измерений называются погрешности, вызванные различными причинами, заранее неизвестными и действующими при каждом отдельном измерении различным образом. Случайные погрешности вызываются многими факторами, не поддающимися систематическому учёту.

Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно, но их можно уменьшить путём многократного повторения измерений. При этом происходит частичная компенсация случайных отклонений результатов измерений в сторону завышения и в сторону занижения.

7

Будем считать, что в наших измерениях отсутствуют грубые ошибки (промахи) и методические погрешности. Исходя из этого,

мы будем производить расчёт погрешностей при прямых и косвенных измерениях, учитывая только случайные и приборные погрешности.

2.1. Расчёт погрешностей при прямых измерениях

За наиболее достоверное значение измеряемой физической величины x принимают среднее арифметическое x из всех n результатов её измерений x1, x2, ..., xn :

8

(2.4)

где xсл – случайная погрешность; t ,n – коэффициент Стьюдента

(определяется по табл. 2.1), зависящий от (коэффициент

а xпр – систематическая (приборная) погрешность.

измерительного прибора. У многопредельных приборов xm – верхний предел шкалы измерительного прибора на соответствующем диапазоне. Применяются следующие классы точности приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. Обозначение класса точности прибора записывается на его шкале в виде вышеуказанных цифр, заключённых или не заключённых в кружок (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Измерительный прибор

9