Материал: 2492

Вариант 21

1.

Найти скалярное произведение векторов 3p + 4q

и 2 p − q ,

если

p

= 6;

q

3π

= 7; p,q

= 4 .

2.

Найти площадь треугольника, построенного

на

векторах

5 p − 2q

и p + 3q ;

p

= 7;

q

2π

= 3; p,q

= 3 .

3.

значении m

При

каком

векторы a,

,c

компланарны:

b

= 22. Найти координаты вектора

.

b

b

5.

И

Показать, что векторы a =3i− 6j+k;

=4i+2j− k ;

c =3i+2j+k

b

Вариант 22

1.

Найти скалярное произведение векторов 3p + 2q и 2 p + 3q ,

б

Д

если

p

7

q

5π

= 2 ;

6 .

2. Даны

векторы aА=4i–2j+k;

b

=6i+4k.

Вычислить

(3a − 2

)× (3a + 2

)

2 .

b

b

3.

С

Выяснить, лежат ли данные четыре точки в одной плоскости:

A (4;2;4), A (− 2;−3;6и), A (− 6;2;−3), A

(1;−1;2).

1

2

3

4

{− 6;−2;3} и

4.

Вектор c перпендикулярен оси Ox, вектору

d

m = 4a + c на вектор b .

Вариант 23

1.

Найти скалярное произведение векторов 5 p − 3q и p + 4q ,

если

p

= 12;

q

π

= 13; p,q =

3 .

2. Вычислить

(a + 5

)× (3a +

)

2 , если

a

= 1;

= 12; a,

=

π .

b

b

b

b

3

3. При каком значении n векторы a,

,c компланарны:

b

a {4;3;3},

{2; −1;3}, c {5;n; − 2}.

b

Вариант 24

1.

Найти скалярное произведение векторов 2 p − q

и

6 p − 2q ,

если

p

= 3;

q

=

π

= 2; p,q

3 .

Д

2.

Найти

площадь

на

векторах

треугольника, построенного

10 p + 4q и 5 p − 2q , если

p

= 4;

А

π

q

= 3;

p,q И= .

3.

6

a =3i − 5 j+2k;

Определить

ориентацию

тройки

векторов

б

b

=2i+7j− 6k; c =− 2i+4j+k.

4.

Найти координаты вектора c ,

если он перпендикулярен век-

и

c

торам a =5i+2j

− 4k

b

=4i

−

2k;

=

106 ,

образует острые углы с

осями координат.

5.

Даны верш ны тетраэдра: A3;2;5), B(2;7;3), C(2;2;7), D(6;5;2).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины B, а также косинус

угла между AC и

BD .

С

Вариант 25

1.

Найти скалярное произведение векторов 4 p − 7q

и 3p − 4q ,

если

p

π

= 3;

q

= 6; p,q = 3 .

2.

Даны

векторы

a =5i+2j–k;

=6i − 2 j +7k.

Вычислить

b

4. Вектор m , перпендикулярный к оси Oz

и к вектору

a{− 3;−12;2}, образует острый угол с осью Ox. Зная, что

m

= 17 , най-

ти его координаты.

5. Вычислить длину высоты пирамиды, опущенной на грань

DCB и проекцию вектора DC на вектор AD , если пирамида задана

координатами вершин A(5;3;2), B(4;2;5), C(1;2;3) и D(7;0;1).

Тестовые задания

1. Для вектора a = (1,0,1) верно следующее утверждение:

а)

a перпендикулярен оси Оу;

б) a перпендикулярен оси Ох;

в)

a

перпендикулярен плоскости Охz

г)

a

параллелен оси Оу.

И

2.

Для вектора a = (0, n, p), где n≠0; р≠0, верно следующее ут-

верждение:

А

а)

a

параллелен оси Ох;

Д

б) a перпендикулярен оси Оу;

в)

a перпендикулярен оси Ох;

г)

a перпендикулярен плоскости Охz.

3.

Для вектора

a = (0,0, p) , где p ≠ 0, верно следующее утвер-

ждение:

a

С

б

а)

перпенд кулярен оси Оz;

б) a параллелениоси Оz;

в)

a перпендикулярен плоскости Охz;

г)

a параллелен плоскости Охz.

Векторы:

а)

(

7,3,−3);

б) (−3,

в) (3,−3,

7,3);

7).

−3

3) ; б) (

3

−3

) ;

3

−3) .

Орты:

а)

(

,

7

,

,

,

7

в) (

7

,

,

5

5

5

5

5

5

5

5

5

а) a

;

b

б) a и

b

коллинеарны, сонаправлены и

a

≥

b

;

в) a и

коллинеарны, сонаправлены и

;

b

a

<

b

г)

a и

коллинеарны, противоположно направлены и

.

b

a

≥

b

А

7. Упрощение выражения

AC

− BC + PMИ− AP + BM приводит его

к виду

а) 2PM ;

б) PM ;

в)

APД; г) AC

;

д)O .

8.

Точки

и

A(2,−6), B(4,

−2),C(8,−2) являются последовательными

вершинами параллелограмма. Тогда сумма координат точки пересе-

С

б

чения диагоналей равна

г)4.

а) 1;

б)2;

в) 3;

9. Если точка A(2,−6)

– начало отрезка AB , а точка M (4,3) –

его середина, то сумма координат точки B равна

а) 7;

б) 22;

в) 18;

г)56.

11.

Векторы

a = (2; − 3; λ − 6) и

= (λ; 1;1) перпендикулярны

b

при λ , равном

а) 2,5;

б) 6;

в) 3;

г)

–0,5.

12.

Векторы a = (3λ; − 2; 6)

и

= (3; − 6; − λ) перпендикуляр-

b

ны при λ , равном

а)

–4;

б) 4;

в) 2;

г) –3.

13.

Если

a

= 3;

= 4 и a

, то 2

(4a – 3

) равно

b

b

b

b

а) 0;

б)

–96;

в)

–24;

г) 2a .

И

–1 0

2

x

–2

А

Скалярное произведение векторов, изображенных на рисунке, равно

а) 2;

б) 2 2 ;

б

д) 0.

в) −2 2Д; г) –2;

и

С

Экспресс-опрос

1.

Является ли вектором сумма двух векторов?

2.

Равна ли 1 длина вектора a = (1; − 2; 2) ?

3.

Разложение вектора

a = (1; − 2; 2) в базисе

; j; k равно

i

− 2 j + 2 k ?

i

4.

Образуют ли векторы a = (1; − 2) и

= (−2; 4)

базис на плос-

b

кости?

Верно ли, что a

5.

?

b

b

6.

Коллинеарны ли векторы a ×

и

× a ?

b

b

7.

Могут ли направляющие косинусы вектора иметь значения