Материал: 2492

3. Даны

вершины тетраэдра

А(4,−1,4), В( − 4,2,3), С(2,4,5),

D(2,− 4, −1).

Найти угол между векторами A

и

C и площадь

D

A

грани АВС.

, 3,7), приложенной к точке А при

4. Найти работу силы F =( − 2

1.

Даны векторы a =(1,− 8,2);

a

2

=(3,10,−1); a =(4,4,−1). Обра-

1

И3

,

,

? Найти модуль век-

зуют ли базис в пространстве векторы a

a

2

a

1

3

тора 3a

− a

+a .

Д

1

2

3

, построенные по векторам

2.

Коллинеарные ли векторы

c

и c

2

1

2,3) и b =(3,5,

a =(1,−

−1), если Аc = − 3a +4b ;

c

2

= − a +3b .

3.

1

Даны верш ны тетраэдра А(1,− 2,−1), В( − 5 ,4,− 5 ), С(7,− 2,

б

AD и AC и площадь

− 5 ), D(5,− 3,4). Найти угол между векторами

грани АВС.

и

4.

Найти работу силы F =(4,5,− 5 ), приложенной к точке А при

ли

p

= 3;

q

2π

= 5; p,q =

3 .

2. Даны векторы

a =i+2j–k;

=2i − j +2k. Вычислить

b

4.

Вектор m ,

перпендикулярный

к

оси Oz

и

к вектору

a{8;−15;3}, образует острый угол с осью Ox. Зная, что

m

= 51, найти

его координаты.

Д

5.

Вычислить длину высоты пирамиды, опущенной на грань

DCB, и проекцию вектора DC на вектор

AD , если пирамида задана

А

координатами вершин A(0;0;1), B(2;3;5), C(6;2;3)Ии D(3;7;2).

Вариант 2

б

3

1.

и

3b

будут пер-

Найти α, при котором векторы

2a + αb и a −

пендикулярны, если a = 3 2; b = 4;a,b = π .

С

4

2. Известно, что

a

= 3;

= 2;a,

=

2π

. Найти площадь паралле-

b

b

лограмма, построенного на векторах a + 2

, 2a − 3

.

b

b

3.

Определить

ориентацию тройки

векторов

a =i+j+k;

=2i − 3j+k; c =4i − j +3k.

b

4. Вектор a составляет с координатными осями Ox и Oy углы π

2π

4

и

,

a

= 2. Найти координаты вектора a .

3

Вариант 3

1.

Найти скалярное произведение векторов 3p + 2q

и

2 p − q ,

если

p

= 4;

q

3π

= 3; p,q

= 4 .

2.

Найти площадь

треугольника, построенного

на

векто-

рах2 p − q и p + 3q ;

p

= 3;

q

π

= 2; p,q

= 2 .

3.

значении m

При

каком

векторы a,

,c компланарны:

b

4.

Вектор b

направлен противоположно вектору c {1; − 3;2} и

= 28. Найти координаты вектора

.

b

b

5.

И

Показать,

что векторы a =2i+5j+7k;

=i+j − k ;

c =i+2j+2k

b

Вариант 4

1.

Найти скалярное произведение векторов

6 p − q

и 5 p + q , ес-

ли

p

=

1

5π

б

Д

2 ;

q

= 4; p,q =

6 .

aА=3i− j +k;

2.

=i+4k.

Даны векторы

Вычислить

b

(3a +

)× (a − 2

)

2 .

b

b

3.

Выяснить, лежат ли данные четыре точки в одной плоскости:

A (3;1;−0), A

(2;3;−5),иA (− 6;0;−3), A

(1;−1;−2).

1

2

3

4

{1;−2;3} и удов-

4.

Вектор c перпендикулярен оси Ox, вектору d

летворяет условиюСa c = 4 .

Найти координаты вектора c , если

2. Вычислить

(a − 3

)× (a +

)

2 , если

a

= 2;

= 3;a,

=

2π

.

b

b

b

b

3

3. При каком значении n векторы a,

,c компланарны:

b

a {2;3;1},

{n; −1;2}, c {3;1; − 2}.

b

Вариант 6

1.

Найти скалярное произведение векторов 2 p + 3q

и p − 2q ,

если

p

= 2;

q

=

π

= 1; p,q

3 .

2.

Найти

площадь

треугольника,

построенного

на

векторах

10 p + q

и 3p − 2q , если

p

= 4;

q

π

= 1; p,q =

И.

3.

6

a =2i − 4j+k;

Определить

ориентацию

тройки векторов

Д

b =4i+3j− 6k; c =− 2i+j+k.

4.

Найти координаты вектора

c , если он перпендикулярен век-

c

А

торам a =i+2j − k b

=3i − 2k;

=

106 , образует острые углы с ося-

ми координат.

б

5.

Даны верш ны тетраэдра: A(4;2;5), B(0;7;1), C(0;2;7), D(1;5;0).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины B, а также косинус

угла между AC

и

и BD .

С

Вариант 7

1.

Найти скалярное произведение векторов 3 p + q

и 3p − q , ес-

ли

p

= 3;

q

2π

= 5; p,q =

3 .

2.

a =i+4j− 3k;

=2i+2j+2k. Вычислить

Даны

векторы

b

Вариант 8

1.

Найти α, при котором векторы

2a + α

и a − 3

будут пер-

b

b

пендикулярны, если

a

= 3;

= 4; a,

=

π .

b

b

3

И

2.

Известно, что

a

= 3;

= 2; a,

=

2π

. Найти площадь парал-

b

b

3

лелограмма, построенного на векторах

a + 2

, 2a − 3

.

b

b

3.

Определить

ориентацию

Д

a =i+j+k;

тройки векторов

b

= 2i − 3j+k;

c =6i − j − 3k.

А

4.

Вектор a составляет с координатными осями Ox и Oy углы π

2π

б

4

и

,

a

= 2

. Найти координаты вектора a .

3

и

5. Даны верш ны тетраэдра: A(4;6;5), B(1;7;1), C(0;2;7), D(1;5;0).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины А, а также косинус

С

угла между AB

и

BD .

Вариант 9

1.

Найти скалярное произведение векторов 3p − 2q

и 2 p − q ,

если

p

= 4;

q

=

π

= 3; p,q

4 .

2.

Найти

площадь

треугольника, построенного

на

векторах

2 p − q

и p + 3q ;

p

= 3;

q

π

= 2; p,q =

3 .

3.

значении m

При

каком

векторы a,

,c

компланарны:

b