Материал: 2492

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	V		= 1	a		c	.
	V		= 1	a	b	c	.
		пир	6
			6
Теорема (выражение смешанного произведения векторов
через их координаты).			xa	ya			za
			xa	ya			za
a		c=	xb	yb			zb	,
a	b	c=	xb	yb			zb	,
			xc	yc			zc

где a = {xa , ya , za };

= {xb ,

yb ,

zb }; c = {xc ,

yc ,

zc }

−

координаты

векторов.

Доказательство.

По определению, a

c = a (

× c).

По теореме § 5

−

× c = i

По теореме § 4

a (b × c )= x

− y

А+ z

иКритерий компланарности

Векторы a,

, c

компланарны тогда и только тогда, когда a

c = 0.

Примеры.

1. Найти смешанное произведение векторов

a = 2i − j − k ; b = i + 3 j − k ; с = i + j + 4 k .

Решение.

−1

3 −1

1 −1

1 3

c =

= 26 + 5 + 2 = 33.

1 3 −1

= 2

−1

2. Показать, что векторы a = 2i

+ 5 j + 7k ;

b = i

+ j − k;

+ 2 j + 2 k компланарны.

с = i

Решение. Находим смешанное произведение векторов:

1 −1

1 1

c =

= 8 −15 + 7 = 0.

1 1 −1

= 2

− 5

+ 7

Так как a

c = 0, то векторы компланарны.

3. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами A(2, 2, 2);

B(4, 3, 3); C(4, 5, 4); D(5, 5, 6).

Решение. Найдём векторы

, совпадающие с ребрами пи-

AC,

рамиды (все векторы должны исходитьДиз одной точки).

= {2, 1, 1}= a;

=А{2, 3, 2}=

;

= {3, 3, 4}= c.

Так как V

= 1

, найдём смешанное произведение

пир

3 2

2 2

2 3

c =

= 2 6 −1 2 −1 3 = 7.

2 3 2

= 2

−1

= 1 7 = 7 (ед.3 ).

пир

4. Вычислить (a −

)(

− c )(c − a ).

Решение. Так как

(a −

)+ (

− c )+ (c − a ) = 0 ,

то эти векторы компла-

нарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

(a − b)(b − c )(c − a )= 0.

Задачи для самостоятельного решения

1. Показать, что векторы a = i + j + m k ; b = i + j + (m +1)k и c = i − j + m k ни при каком m не могут быть компланарными.

Найти

смешанное

произведение векторов

− j + k ;

a = i

= i

+ j

+ k ; c = 2i

+ 3 j + 4k .

Показать, что

векторы

a = 7 i

− 3 j + 2 k ; b = 3i − 7 j + 8k ;

− j + k компланарны.

c = i

4. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами A(0, 0,1);

B(2, 3, 5); C(6, 2, 3) и

D(3, 7, 2).

Найти длину высоты пирамиды,

опущенной на грань BCD .

Указания:

1) найти векторы

;

2) найти их смешанное произведение;

3) вычислить объём пирамиды;

4) найти векторы ВС и

и найтиДплощадь ∆BCD с помощью

векторного произведения;

Sосн

h h =

использовать

формулу

, вычислить

высоту.

SABC

A(5, 7, − 2);

B(3,1,−1);

C(9, 4, − 4) и

Показать, что

точки

D(1, 5, 0) лежат в одной плоскости.

Указание. Точки лежат в одной плоскости,

если векторы

, AD лежатСв одной плоскости (компланарны). Проверить, что

смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Ответы:

4. 20(ед3 );

2. 4.

510

Вопросы и задания для самопроверки [1,2,3,4,5,6]

1. Какие векторы называются компланарными?

2.Какая упорядоченная тройка векторов называется правой?

3.Определите смешанное произведения векторов.

4. Как в ычисляется смешанное произведение через координаты векторов-сомножителей?

5. Каков г еометрический смысл смешанного произведения векторов?

6. Запишите критерий компланарности трех векторов.

Контрольная работа № 1

1. Даны координаты точек A1,

A2 , A3 , A4 . Найти:

а) координаты векторов

;

A1A2

A1A3

A2 A4

б) длину вектора

;

A2 A4

в) угол A1A2 A3 ;

г) площадь треугольника A1A2 A3 ;

д)

высоту треугольника A1A2 A3 ,

опущенную из вершины

сторону A1A3 ;

A1, A2 , A3 , A4 ;

е) объём тетраэдра с вершинами в точках

ж)

опущенную из вершины

высоту тетраэдра A A A A

грань A1A2 A3 .

2 3 4 Д

x по векторам p , q ,

Написать разложение вектора

3. Компланарны ли векторы a ,

и c ?

Вариант 1

A1(1,3,6); A2 (2, 2,1);

A3 (−1,0,1);

A4 (− 4,6, − 3).

x = {− 2, 4,7};

p = {0,1,2};

q = {1, 0,1};

= {−1,2,4}.

a = {2,3,1};

= {−1,0, −1}; c = {2, 2, 2}.

Вариант 2

A1(− 4, 2,6); A2 (2, − 3,0);

A3 (−10,5,8);

A4 (− 5, 2, − 4).

x = {6,12, −1};

p = {1,3,0};

q = {2, −1,1};

= {0, −1, 2}.

a = {3, 2,1};

= {2,3, 4}; c = {3,1, −1}.

A2 на

A4 на

Вариант 3

A1(7, 2, 4);

A2 (7, −1, − 2);

A3 (3,3,1);

A4 (− 4, 2,1).

x = {1,− 4,4};

p = {2,1, −1}; q = {0,3, 2};

= {1, −1,1}.

a = {1,5, 2};

= {−1,1, −1}; c = {1, 1, 1}.

Вариант 4

A1(2,1, 4);

A2 (−1,5, − 2);

A3 (− 7, − 3, 2);

A4 (− 6, − 3,6).

x = {− 9,5,5};

p = {4,1,1}; q = {2,0, − 3};

= {−1, 2,1}.

a = {1, −1, − 3};

= {3, 2,1}; c = {2,3, 4}.

Вариант 5

A1(−1, − 5, 2); A2 (− 6,0, − 3); A3 (3,6, − 3); A4 (10,6,7).

x = {− 5, − 5,5}; p = {− 2, 0,1}; q = {1,3, −1};

= {0, 4,1}.

a = {3,3,1};

= {1, − 2,1}; c = {1,1,1}.

ВариантД6

A (0, −1, −

9);

A (−1, − 6,3).

1);

A (− 2,3,5); A (1, − 5, −

А3

x = {13,2,7}; p =

{5,1,0};

q = {2, −1,3};

= {1,0, −1}.

a = {3,1, −1};

= {− 2, −1,0}; c = {5, 2, −1}.

A (5, 2,С0); A (2,5,0);

Вариант 7

(1, 2, 4); A

(−1,1,1).

x = {−19, −1, 7};

p = {0,1,1}; q = {− 2, 0,1};

= {3,1, 0}.

a = {4,3,1};

= {1, − 2,1}; c = {2, 2, 2}.

Вариант 8

A1(2, −1, − 2);

A2 (1, 2,1);

A3 (5,0, − 6);

A4 (−10,9, − 7).

x = {3, − 3, 4};

p = {1,0, 2}; q = {0,1,1};

= {2, −1, 4}.

a = {4,3,1};

= {6, 7, 4}; c = {2, 0, −1}.

Источник: https://studfile.net/preview/16408549/

Смотрите также:

DLP-системы
Государственная поддержка сельскохозяйственного производства на региональном уровне с учетом требований ВТО
Дело 01-0062_2019. Приговор. документ - обезличенная копия
МПС3
Направления развития инновационно-инертных регионов
Преступления против мира и безопасности человечества
Расстановка скобок в арифметическом выражении
Рентабельность деятельности ООО 'КСК' и пути ее повышения
Системы коммутации
Теоретические аспекты контроллинга