Материал: 2655

11

Система из уравнений общего вида в данном случае будет:

∑Y = a∑n + b∑ X + c∑ X 2

∑XY = a∑ X + b∑ X 2 + c∑ X 3

∑X 2Y = a∑ X 2 + b∑ X 3 + c∑ X 4

Для получения числовых значений данной системы составляется вспомогательная таблица.

Таблица 2.3 Вспомогательные расчеты для вычисления конкретного уравнения

параболы

Полученные результаты подставляются в вышеприведенную систему из трех уравнений, после решения которых получаем следующие конкретное уравнение:

2.3Оценка точности выравнивания

2.3.1Подготовительные работы. Проверка правильности вычислений

уравнений С целью последующего анализа результатов применения полученных

уравнений вычисляются вероятные (теоретические) значения зависимого признака по первому уравнению (HI) и второму уравнению (HII), которые сравниваются с исходными (опытными) данными (Y). Указанные сравнения

12

(∆ = Y-H) производятся по всем классам Х, а их результат возводится в квадрат (∆2) с целью устранения влияния знака. Данные вычисления показаны в табл.2.4 для прямой линии и табл. 2.5 – для параболы.

Таблица 2.4 Сравнение исходных и вероятных высот деревьев, полученных по

уравнению прямой линии

Приведенные в табл. 2.4 и 2.5 данные позволяют прежде всего проверить правильность вычислений, выполненных при получении конкретных уравнений, на предмет обнаружения грубых арифметических ошибок.

Правильность вычисления уравнений связи проверяется путем сравнения исходных значений Y с вероятными (Ŷ), полученными по уравнению I (HI) и уравнению II (HII). Критерием правильности вычислений уравнения I будет совпадение вероятных значений HI с исходными значениями Y для тех классов, в которых использованы координаты точек в качестве исходных для получения конкретного уравнения 1. В нашем примере для уравнения прямой линии значение HI равно 18,0, соответствует исходным данным Y во втором классе, то есть также 18,0. Аналогичное положение и в следующем, шестом классе: YI=23,6 практически не отличается от YI =23,65. Совпадение Y и H в остальных классах не обязательно и может наступить только случайно.

Некоторый контроль правильности уравнения II можно получить путем сопоставления Y и HI – во всех классах. В этом случае должно наблюдаться такое сочетание знаков (плюс и минус), которое отражает «срединное»

13

положение выравнивающей прямой между выравниваемыми исходными значениями Y.

Таблица 2.5 Сравнение исходных и вероятных высот деревьев, полученных по

уравнению параболы

О явной неправильности полученного уравнения будет свидетельствовать наличие во всех классах только +, равно как и знаков -, а также, если в нескольких начальных классах будут наблюдаться отклонения с одним и тем же знаком (+ или -), а во всех последующих классах с противоположным, а именно:

+ + + + + + +

- - - - - - -

+ + + + - - -

- - - - + + +

Заметим, что описанные критерии правильности вычислений I и II уравнений распространяются и на выравнивание по всем другим линиям связи, в том числе и на уравнение параболы 2-го порядка.

Убедившись в том, что полученные регрессионные уравнения вычислены правильно, можно приступить к оценке точности их «работы», которая может быть выполнена с учетом следующих критериев: мера выравнивая (r1); величина несовпадения исходных и вероятных значений (∆2); среднеквадратическая ошибка уравнения (mY); показатель эффективности уравнения (Fэф).

15

для уравнения II прямой линии

r1 = (107,22 − 4,7 )/107,22 = 0,978;

для уравнения 1 параболы

r1 = (107,22 −1,68 )/107,22 = 0,992;

для уравнения 2 параболы

r1 = (107,22 −1,43 )/107,22 = 0,993.

Поскольку в нашем примере

r1 = (0,975 ... 0,993) > 0,95,

все четыре анализируемых функции аппроксимируют исследуемую взаимосвязь Д/Н достаточно надежно.

2.3.3 Величина несовпадения исходных и вероятных значений Смысл указанного критерия заключается в том, что чем меньше

отличаются опытные (Y) и теоретические (H) частоты (или иначе, чем меньше величина ∑∆2, тем точнее «работает» уравнение регрессии.

Из итогов табл. 2.4 видно, что точность выравнивания опытных данных по прямой линии для уравнения 1, полученного методом координат избранных точек, выражается величиной ∑∆I2 = 5,3, а для уравнения II, полученного методом наименьших квадратов, - величиной ∑∆II2 = 4,7.

Ŷ=201,04/9=22,34 Вывод: уравнение аппроксимирует опытные данные достаточно точно