Материал: 2655

16

Окончание табл. 2.6

УРАВНЕНИЕ II

Ŷ=201,04/9=22,34 Вывод: уравнение аппроксимирует опытные данные достаточно точно

Таблица 2.7 Вспомогательные расчеты для получения меры выравнивания (r1)

опытных данных по уравнению параболы

Ŷ=201,04/9=22,34 Вывод: уравнение аппроксимирует опытные данные достаточно точно

УРАВНЕНИЕ II

17

Окончание табл. 2.7

Ŷ=201,04/9=22,34 Вывод: уравнение аппроксимирует опытные данные достаточно точно

Как и следовало ожидать, более трудоемкий и точный способ наименьших квадратов показал более высокую точность выравнивания.

Выравнивание наблюдений по более сложной регрессии – параболе 2-го порядка характеризуется величиной ∑∆2 =1,68 и ∑∆2 =1,43, а следовательно, обеспечивает увеличение точности выравнивания в сравнении с прямой более чем в три раза. К тому же, как и в уравнении прямой линии, подтверждается более высокая точность работы уравнений, полученных методом наименьших квадратов: ∑∆II2 =1,68 < ∑∆I2 =1,43.

2.3.4 Среднеквадратическая ошибка уравнения Определение среднеквадратической ошибки уравнения производится по

зависимого признака; n – количество классов или точек, использованных для вычисления уравнения; К – число коэффициентов уравнения.

Величина mу показывает размер отклонения фактических значений высот деревьев от вероятных, полученных по уравнениям связи. Уравнение будет «работать» тем точнее, чем меньше абсолютная величина mу.

Из приведенных данных видно, что для прямой линии mYII=0,82< mYI= 0,87. Следовательно, точность «работы» уравнения II, вычисленного методом наименьших квадратов, будет незначительно выше (на 5 %), чем 1-го уравнения, полученного гораздо менее трудоемким путем – методом координат избранных точек. Все это свидетельствует о том, что удачный выбор исходных точек позволяет получить вполне удовлетворительные

18

результаты выравнивания и при использовании менее трудоемкого способа – координат избранных точек.

С другой стороны, сравнивая результаты «работы» уравнений прямой и параболы, видно, что в случае использования уравнения параболы ошибка уравнения уменьшается весьма существенно (почти вдвое): 0,49 против 0,82 и 0,53 против 0,87.

Используя результаты вычислений, показанных в табл. 2.4, определим ошибку первого, а затем второго уравнения прямой линии:

2.3.5 Оценка эффективности уравнения

Оценка эффективности (информационной ценности) уравнения, по данным А.А. Пижурина и М.С. Розенблита [5], производится по формуле

Fэф = S c2 / S o2 , где Fэф - показатель эффективности;

Sc2 - дисперсия относительно среднего значения;

So 2 - остаточная дисперсия.

Величина Fэф показывает, во сколько раз точнее описывает результаты эксперимента полученное уравнение, чем простое среднеарифметическое (Ŷ). Регрессионная модель признается эффективной, если Fэф > 3…5. Таким образом, Fэф является результатом соотношения двух видов выборочных дисперсий (S2), каждая из которых представляет частное от деления суммы квадратов отклонений на число степеней свободы.

Вычисление дисперсий первого вида производится по формулам:

где S2c - дисперсия относительно среднего значения;

19

N - число опытов (наблюдений);

Yi- опытные данные отдельных наблюдений;

Ŷ - среднеарифметическое значение из всех опытных данных; fc - число степеней свободы дисперсии S2c .

Применительно к символике вышеприведенного раздела 2.3.2

N

∑(Yi=1 i - Ŷ)2 = ∑α2 .

Вычисление дисперсий второго вида производится по формулам

N

S2o = ∑(Yi=1 i - Hi )2 / fo , fo = N-K, где S2o - остаточная дисперсия;

N - число опытов (наблюдений);

Yi -опытные данные отдельных наблюдений;

Hi - теоретические данные по уравнению регрессии; fo- число степеней свободы дисперсии;

K - число коэффициентов уравнения регрессии. Применительно к символике вышеприведенного раздела 2.3.2

N

∑(Yi=1 i - Hi)2 = ∑∆2.

Данные вычислений величины отклонений, числа степеней свободы и дисперсий двух видов, показанных в табл. 2.8, позволят установить, что все анализируемые уравнения, имеющие Fэф = (17,63…55,83), следует признать эффективными.

2.3.6 Выбор оптимальной модели Для удобства обозрения в табл. 2.8 показаны исходные данные для

расчета четырех основных критериев (r1, ∆2, mY, Fэф), необходимых при выборе оптимальной модели для выравнивания наблюдений.

Очевидно, что уравнение будет «работать» тем точнее, чем меньше величина показателей mY, ∆2 и чем больше r1, Fэф. В то же время при выборе оптимального уравнения, кроме этого еще необходимо принимать во внимание следующие обстоятельства.

Во-первых, следует учитывать соответствие выбранной модели природе исследуемого процесса, что требует от экспериментатора наличия специальных знаний.

20

Во-вторых, при прочих равных условиях, следует отдавать предпочтение той модели, которая является более простой и получена менее трудоемким путем.

За применение указанного принципа выбора функции высказывается А.З. Швиденко [3], рекомендующий отдавать предпочтение наиболее простым из них, желательно линейным или тем функциям, которые путем алгебраических преобразований могут быть приведены к линейному виду (показательные, степенные, логарифмические и гиперболические функции).

Учитывая вышеизложенное, выбор оптимальной модели в рассматриваемом примере можно свести к следующему.

Во всех моделях r1 > 0,95; Fэф > (3…5). Соотношение Д/Н соответствует природе исследуемого процесса, то есть с увеличением толщины дерева наблюдается закономерное увеличение его высоты. Следовательно, в качестве оптимальной модели нужно признать одно из уравнений прямой линии как более простое, чем уравнение параболы 2-го порядка. При этом необходимо еще раз подчеркнуть особенности применения метода координат избранных точек. Этот достаточно простой по трудоемкости метод при удачном выборе точек позволяет получить уравнение, точность «работы» которого практически не отличается от уравнения, полученного гораздо более трудоемким путем – методом наименьших квадратов.

Однако в том случае, если руководствоваться абсолютной величиной ∆2, то при более ответственных исследованиях следует отдать предпочтение уравнению параболы, у которого ∑∆2 = (1,43…1,68), что в три раза меньше, чем у прямой, где ∑∆2 = (4,7…5,3). В то же время необходимо иметь в виду, что выражение этих исходных данных по другой линии регрессии (параболе 3- го порядка, гиперболе или других функциях) может позволить подобрать уравнение, обеспечивающее более высокую степень аппроксимации.

3 Моделирование регрессионных связей на ЭВМ

3.1 Содержание программы Моделирование регрессионных связей выполняется с использованием

стстистической диалоговой системы STADIA НПО «Информатика и компьютеры».

В состав системы входят четыре блока со своей системой команд: