Материал: 5544

в точке xk будем обозначать y xk , а некоторое приближение этого значения – через yk . По условию y x0 y0 .

Разделив a; b на n частей, получим точки a x0 x1 x2 xn 1 xn b .

В точках с номерами 1,2,...,n приближённое значение функции находим по формуле

Замечание. Если начало отрезка a x0 , достаточно при движении от точки x0 влево к точке a считать, что шаг h 0 . Если же a x0 , в ответе не надо ука-

зывать результаты в точках xk a .

Нахождение приближённых значений ук в точках хк к точным значениям у(хк) в этих же точках неизвестного решения у(х) задачи Коши (4.4) по формулам (4.5) или (4.6) и есть метод Эйлера численного решения этой задачи. Сущность метода состоит в том, что производная y дифференциального уравнения (4.1)

заменяется разностным отношением

yk 1 yk

xk 1 xk

в случае произвольного (неравномерного) разбиения отрезка [a, b] на части и разностным отношением

yk 1 yk

h

66

в случае разбиения этого отрезка с одинаковым (равномерным) шагом h. Во второй ситуации вместо нахождения точного решения у(х) задачи (4.4.) ищется решение алгебраического уравнения

с неизвестными числами у1,…,уn при известном начальном значении у0, структура которого напоминает дифференциальное уравнение (4.1) и которое приводит к явной формуле (4.6) нахождения этих значений. Аналогичную трактовку имеет и явная формула (4.5), которая следует из уравнения

yk 1 yk f xk , yk . xk 1 xk

В § 5 будут обсуждены вопросы приближения (аппроксимации) производных их разностными отношениями.

Обратимся к таблице (4.7), задающей некоторую функцию, которую можно интерполировать каким-нибудь способом на весь отрезок [a, b] (см. § 1).

(к=0,1,…,n) определяются таблицей (4.7). Ломаная, соединяющая точки Мк,

называется ломаной Эйлера.

Для определённости рассмотрим только формулу (4.6) с равномерным нача-

лом приближения. Обозначим ломаную Эйлера в этом случае через yh* (x)n . Так как соответствующее разностное отношение приближает производную y , то естественно ожидать, что при h 0 ломаные Эйлера yh* (x)n приближаются к графику искомой интегральной кривой (графику искомого решения у(х) задачи (4.4). Следовательно, с уменьшением шага h метод Эйлера должен давать всё более точные приближения к искомому решению.

Отметим ещё, что метод ломаных Эйлера применяется и для доказательства теоремы существования и единственности решения задачи Коши (4.4) при весьма общих требованиях к функции f(x,y) как функции двух переменных. Однако такие тонкие вопросы выходят за рамки программы этой дисциплины.

Пример. Решим методом Эйлера уравнение y x при условии y 2 1 на y 2

отрезке 2;4 .

67

4.2. Метод Рунге – Кутта

Метод Эйлера легко программируется, но его точность невысока. В первой точке погрешность пропорциональна квадрату шага, в последней точке пропорциональна самому шагу. Для повышения точности в 10 раз, то есть на знак после запятой, приходится уменьшать шаг в 10 раз. Точность можно повысить, применяя метод Рунге – Кутта по следующей схеме.

Шаг 1. Решим задачу Коши методом Эйлера с шагом h1 ; получим значения yk в точках x0 , x1 , , xn , где xk x0 h1k .

68

Шаг 3. В точках x = 1, 2, 3, 4, 5 приближённые значения найдены дважды. Пересчитываем:

69

грированием. Решение, уточнённое методом Рунге – Кутта, совпадает с точным. Заметьте, как при большом шаге результаты вычислений методом Эйлера отличаются от настоящих (точных).

В общем случае метод Рунге – Кутта имеет 2-й порядок точности O h2 и абсолютно точен, если настоящее решение – полином не выше 2-й степени. Уменьшение шага h в 10 раз повышает точность (уменьшает погрешность) в 100 раз, то есть на два десятичных знака.

4.3. Методы "Предиктор-Корректор" 2-го порядка точности

Метод Эйлера дает невысокую точность, а метод Рунге – Кутта не очень удобно программировать. Идея методов "Предиктор-Корректор", часто называемых "Счёт-Пересчёт" – использовать вспомогательные значения функции в точках между соседними узлами отрезка. С геометрической точки зрения при этом происходит движение в направлении касательной к графику искомой функции, но с учётом его выпуклости.

Как обычно, решаем задачу (4.4) на отрезке a; b , где без потери общности

ax0 . Отрезок делим на n равных частей и получаем шаг h b a / n , при этом xk x0 kh .

70