Материал: 5544

Может возникнуть вопрос, нельзя ли вместо громоздких вычислений применить метод Эйлера с очень малым шагом, особенно при использовании компьютера. Ответ зависит от того, с какой точностью надо получить решение.

Пусть, например, решение некоторой задачи методом Эйлера с точностью 0,1 потребовало 100 операций. Тогда решение её с тем же шагом методами 2-го порядка потребует около 250 операций и даст точность 0,01. При том же шаге метод 3-го порядка примерно за 500 операций даст точность 0,001, а метод 4-го порядка – точность 0,000 1 за 1 000 операций.

Если же с точностью 0,000 1 решать задачу методом Эйлера, шаг надо уменьшить в 100 раз, и число действий составит 10 тыс. – в 10 раз больше, чем методом 4-го порядка.

Пусть теперь понадобилось решить задачу с точностью 10 8 . Для решения методом 4-го порядка достаточно уменьшить шаг в 10 раз, и число операций составит 10 тыс. Для решения методом 3-го порядка шаг надо уменьшить

примерно в 22 раза ( 3 10 3 /10 8 22 ), что приведёт к 11 тыс. действий. Достижение той же точности методами 2-го порядка требует уменьшения

шага в 1 000 раз и соответственно 250 тыс. действий, а достижение точности методом Эйлера – в 10 млн раз, что даёт 1 млрд операций.

Для каждого метода число действий в конкретной задаче зависит в основном от сложности функции в правой части уравнения.

4.5. Метод прогонки решения краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка

Известно, что функции спроса D(P) и предложения S(P) зависят не только от цены P, но и от скорости её изменения P' и от увеличения темпа роста P'' так, что

D a0 a1P a2 P a3 P и S b0 b1P b2 P b3 P ,

где a0 , , b3 0 – некоторые коэффициенты. Задача о равенстве спроса и пред-

ложения приводит к уравнению P c1P c2 P c0 . Его решение – функция P(t),

дающая зависимость цены от времени t.

Если и как следствие c0 , c1 , c2 непостоянны, получается уравнение типа P r t P q t P f t . В общем виде оно решается для узкого класса функций r(t), q(t), f(t), и необходимы приближённые методы решения.

Уравнение (в более привычной записи)

76

относительно функции y(x) имеет смысл на отрезке [a, b], если на нём определены p(x), q(x), f(x). Тогда его можно решить численно, если даны значения функции y(a) и y(b) (с экономической точки зрения: известны значения цены P в разные моменты времени, достаточно удалённые один от другого).

Приведём схему решения уравнения (4.10) при краевых (граничных) условиях

c неизвестными числами у1, …, уN-1 и известными числами у0, уn, являющихся правыми частями равенств (4.11). Это значит, что в уравнении (4.10) вторая производная y'' в точке хк заменена разностным отношением

yk 1 2 yk yk 1 h2 ,

а первая y' в точке хк – симметричным разностным отношением

yk 1 yk 1 . 2h

В§ 5 будет показано, что на достаточно гладких функциях у(х) эти разностные отношения будут приближать соответствующие производные с точностью О(h2). Для этого надо потребовать, чтобы функция у(х) была четырежды непрерывно дифференцируемой на интервале (а, b). Однако требование от функции большей гладкости не улучшит этой точности.

Вравенстве (4.12) индекс k принимает значения k = 1,2,…, n–1. Таким образом, (4.12) есть система линейных алгебраических уравнений.

Всего получаем n–1 уравнение относительно n–1 неизвестных y1 , y2 , , yn 1 .

Напомним, что значения y0 y a и yn y b известны (даны в условии).

Перегруппировав слагаемые, получаем систему уравнений

77

В 1-м и последнем уравнении скобки с известными по условию y0 и yn

перенесены вправо. Обратите внимание на разные знаки в скобках.

Получена система в виде, допускающем решение методом прогонки (см. § 4 части 1). При определённых свойствах функций p(x), q(x) выполнены достаточные условия сходимости.

тогда для сходимости достаточно (но не необходимо) выполнение неравенства

Замечание. Если в задаче об установлении равновесной цены важно поведение цены в более отдалённые моменты, чем t a , следует методом наименьших квадратов подобрать подходящую функцию P(t) и найти прогноз цены для t a .

4.6.Задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

иуравнений высокого порядка

Задача Коши системы уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями у(х) и z(x) и известными правыми частями имеют вид:

y f x, y, z ,z g x, y, z ,

y x0 y0 , z x0 z0.

Она допускает численное решение на отрезке, содержащем x0 , причём лю-

бым из рассмотренных ранее методов. Например, решение системы методом Эйлера сводится к нахождению последовательности

78

где k 0,1, , n 1, и x0 , x1 , , xn – точки отрезка, на котором ищем решение.

Пример 1. Решим систему

Точность метода невысока, ошибка неизвестна, цифры нельзя считать верными.

Ответ:

Замечание. Задача допускает точное решение y e 2 x и z 2e x . Значения функций, полученные по этим формулам (все цифры верные):

По такой же схеме можно решать системы с любым числом функций.

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка, разрешён-

ного относительно старшей производной y'', при известных числах у0, y10 и из-

вестной функции f трёх переменных имеет вид:

Она может быть решена заменой y' x z x , где z x – новая неизвестная функция. При такой замене получается система

z' f x, y, z ,

y' z x

с начальным условием y x0 y0 , z x0 z0 , где z0 y01 . Схема решения системы методом Эйлера, в частности, такая же, как в примере 1.

Пример 2. Решить на отрезке 0,5;1,5 с шагом h 0,2 задачу

y" 2 yy',

y 0,5 2 y' 0,5 4.

Решение. Исходное уравнение с неизвестной функцией y y x указанной заменой сведётся к системе

z' 2 yz,y' z

с начальным условием x0 0,5, y0 2, z0 4 .

Формулы пересчёта:

Результаты вычислений приведены в таблице с округлением до 3 знаков.