Материал: 5544

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

От обозначения							y * можно избавиться,																	подставив y *						в формулу (4.8) для
вычисления yk 1					и получив yk 1 yk hf xk																		0,5h; yk					0,5hf xk ; yk .
Способ 2. Зная приближённое решение																								yk в точке xk , можно найти вспомо-
гательное значение y* y												k	hf x					, y	k	, а значение в следующей точке как
												k					k		k
								y		k 1				y	k		0,5h f x					, y	k	f	x		k 1	, y* .				(4.9)
										k 1					k						k		k				k 1
Здесь также можно подставить y *																				и получить
						yk 1 yk							0,5h f xk , yk f xk 1 , yk															hf xk , yk .
Пример 1. На отрезке 0;1 с шагом																						h 0,2				решим 1-м способом уравнение
y x2 y 2 при начальном условии y 0 2.
Решение. Имеем							x	0	0, y					0		2,		f x, y x2 y 2 ,								h 0,2 . Находим
								0						0
								y* y					0	0,5 h x2						y2 2 0,5 0,2 02 22									2 .
													0					0		0
Тогда
				y1 y0 h x0										0,5h 2 y* 2								2 0,2 0 0,1 2 22							2,008.
Таким образом, для точки x1 0,2																				нашли приближённое значение y1 2,008.
Далее находим
y	* y		0,5hx		2 y 2 2,008 0,1 0,222,0082 2,0241, поэтому
	1		1		1
y2 y1			h x1 0,5h 2 y* 2										2,008 0,2 0,2 0,1 2 2,02412 2,0817, и т.д.
Удобно вычисления выполнять в таблице

k		xk		yk			0,5hxk				2 y 2						y *				xk 0,5h					xk 0,5h 2					y* 2	yk 1
0		0		2						0							2					0,1						0,01			4	2,008

1		0,2		2,008			0,016 1										2,024 1					0,3						0,09			4,097 1	2,081 7

2		0,4		2,081 7			0,069 3										2,151 1					0,5						0,25			4,627 2	2,313 1

3		0,6		2,313 1			0,192 6										2,505 7					0,7						0,49			6,278 6	2,928 4

4		0,8		2,928 4			0,548 8										3,477 3					0,9						0,81			12,091 3	4,887 2

5		1,0		4,887 2						–							–					–						–			–	–

Решение получено как табличная функция. Точность пропорциональна квадрату шага, то есть величине h2 0,04 , поэтому 1 – 2 последние цифры сомнительные. Ответ желательно округлить до 3 знаков.

Ответ:

х	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1

у	2	2,008	2,082	2,313	2,928	4,887

Точное решение задачи – функция				y			3		, её значения в узловых точках:

						1,5 x3

	х	0	0,2		0,4			0,6		0,8	1

	у	2	2,011		2,089			2,336		3,036	6

Погрешность вначале невелика, но резко возрастает к концу отрезка. Это связано с приближением аргумента к точке 31,5 1,148 – точке разрыва 2-го рода, где функция бесконечна. Производная, оцениваемая приближённым методом, в этом случае весьма отличается ("отстаёт") от настоящей. Тем не менее, значения, получаемые методом Эйлера и указанные в таблице:

х	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1

у	2	2	2,032	2,164	2,501	3,302

отличаются от точных намного больше.

Следующий пример решим вторым способом.

Пример 2. Для уравнения y xy , с начальным условием y 1 3, найти

решение на отрезке 1;1 с шагом h 0,4.

Решение оформим в виде таблицы. Все действия указаны в её заголовке.

	k	xk	yk			xk / yk							y *		xk h				f1		fC			yk 1
	0	–1	3		–0,333 3						2,866 7					–0,6			–0,209 3	–0,271 3				2,891 5

	1	–0,6	2,891 5		–0,207 5						2,808 5					–0,2			–0,071 2	–0,139 4				2,835 8

	2	–0,2	2,835 8		–0,070 5						2,807 6					0,2			0,0712	0,000 35				2,835 9

	3	0,2	2,835 9			0,070 5					2,864 1					0,6			0,209 5	0,14				2,861 9

	4	0,6	2,891 9			0,207 5					2,974 9					1,0			0,336 1	0,271 8				3,000 6

							x		h						x		k		*
Здесь для краткости				f				k				, f		0,5			k	y	, причём y			y		hf		.
					1				y	*			C			yk					k 1		k		C
									y							yk

Решение округляем до тысячных.

Ответ:

х	–1	–0,6	–0,2	0,2	0,6	1,0

у	3	2,892	2,836	2,836	2,892	3,001

Точное решение задачи – функция y x2 8 , её значения в узловых точках даны в таблице:

х	–1	–0,6	–0,2	0,2	0,6	1,0

у	3	2,891	2,835	2,835	2,891	3

Высокая точность объясняется малым изменением функции на отрезке 1,1 .

4.4. Методы «Счёт-Пересчёт» высокого порядка точности

Если при решении задачи Коши искомую функцию разложить в ряд Тейлора с учётом производных 3-го порядка и тем более 4-го порядка, решение будет ещё точнее, чем при решении ранее указанными способами.

Формула метода 3-го порядка точности:

yi 1 yi 16 k1 4k2 k3 ,

где k1 hf xi , yi , k2 hf xi 0,5h; yi 0,5k1 , k3 hf xi h; yi k1 2k2 .

Пример. Решим уравнение y x y с условием y 0 0 на отрезке [0;0,5], взяв шаг h 0,1 .

Решение. Вычисления выполним в таблице:

x	i	y	i	k	y	i	0,5k	k	2	y *	k	3	h*	y	i 1
				1			1

0		0		0			0	0,005		0,01	0,009		0,004 83	0,004 8

0,1		0,004 8		0,009 5	0,009 6			0,014 04		0,023 4	0,017 66		0,013 9	0,018 7

0,2		0,018 7		0,018 1	0,027 8			0,022 22		0,045 0	0,025 50		0,022 1	0,040 8

0,3		0,040 8		0,025 9	0,053 8			0,029 62		0,074 1	0,032 59		0,029 5	0,070 3

0,4		0,070 3		0,033 0	0,086 8			0,036 32		0,110 0	0,039 00		0,036 2	0,106 5

0,5		0,106 5		–			–	–		–	–		–	–

В таблице для краткости обозначено y* yi k1 2k2 и h* h6 k1 4k2 k3 .

Поскольку погрешность пропорциональна кубу шага, то есть 10 3 , при вычислениях оставляли 4 – 5 цифр, последняя из которых – запасная.

Поясним вычисления.

Правая часть уравнения f x, y x y , поэтому k1 xi yi .

При подсчёте k2			используется xi , увеличенный на половину шага, и число
yi 0,5k1 , стоящее слева. Разность этих чисел умножаем на шаг.
При подсчёте k		3	используем аргумент						x	, увеличенный на шаг, и число y * , их
		3							i
разность также умножаем на шаг.
Элемент последнего столбца найден как y											i	h* . Результат становится при-
											i
ближённым значением функции в очередной точке.
Ответ:

	х		0	0,1		0,2				0,3			0,4		0,5

	у		0	0,004 8		0,018 7		0,040 8					0,070 3		0,106 5

Точное решение задачи – функция y x e x													1 (проверьте!), её значения в
узловых точках c 4 точными цифрами даны в таблице:

	х		0		0,1		0,2			0,3				0,4		0,5

	у		0		0,004 8		0,018 7		0,040 8					0,070 3		0,106 5

Видно, что запасная цифра также оказалась точной, однако это связано с малым ростом функции и происходит редко.

Формула метода 4-го порядка точности

k 2k

i 1

где

k1 hf xi , yi ,

k2 hf xi

0,5h; yi

0,5k1 ,

k3 hf xi 0,5h; yi 0,5k2 ,

k4 hf xi h; yi

k3 .

При решении методом 4-го порядка уменьшение шага в 2 раза уменьшает ошиб-

ку в 16 раз: 24 16 .
Пример. Решим уравнение y	x / y на отрезке 1;1,5 с шагом	h 0,1 при

начальном значении y 1 9 .

Решение. Первый шаг покажем подробно с большим числом знаков. Учтём, что f x, y x / y , а x0 1, y0 9 . Находим последовательно

k1 h x0 / y0 0,11/ 9 0,1 0,333 3 0,033 33 ; x0 0,5h 1 0,5 0,1 1,05 ;

y0 0,5k1 9 0,5 0,033 33 9,016 67 ;

k2 h1,05 / 9,016 67 0,1 0,34125 0,034125 ; y0 0,5k2 9 0,5 0,034 125 9,017 062 ;

по-прежнему x0 0,5h 1 0,5 0,1 1,05 , поэтому

k3 h1,05 / 9,017 062 0,1 0,341 24 0,034 124 ;

x0 h 1 0,1 1,1 и y0 k3 9 0,034124 9,034124 ; k4 h1,1/ 9,034124 0,1 0,348 94 0,034 894 .

Наконец, находим значение функции в следующем узле, то есть в точке x1 1,1:

y1 y0 16 k1 2k2 2k3 k4 9 16 0,204 726 9,034121 .

Все дальнейшие вычисления аналогичны и приведены в таблице.

Таблица (начало)

i	x	i	y	i	k	xi	h	yi	k1	k		yi	k2	k	3
					1						2
							2		2				2

0	1		9		0,033 33	1,05		9,016 67		0,034 13		9,017 06		0,034 12

1	1,1		9,034 12		0,034 89	1,15		9,051 57		0,035 64		9,051 94		0,035 64

2	1,2		9,069 76		0,036 37	1,25		9,087 95		0,037 09		9,088 31		0,037 09

3	1,3		9,106 85		0,037 78	1,35		9,125 74		0,038 46		9,126 08		0,038 46

4	1,4		9,145 30		0,039 13	1,45		9,164 87		0,039 78		9,165 19		0,039 78

5	1,5		9,185 08		–	–		–		–		–		–

Таблица (окончание)

i	xi h	yi k3	k4	k *	yi 1
0	1,1	9,034 12	0,034 89	0,034 12	9,034 12

1	1,2	9,069 76	0,036 37	0,213 84	9,069 76

2	1,3	9,106 85	0,037 78	0,222 50	9,106 85

3	1,4	9,145 31	0,039 13	0,230 76	9,145 03

4	1,5	9,185 08	0,040 41	0,238 64	9,185 08

5	–	–	–	–	–

Точное решение задачи – функция y x3/ 2 26 2 / 3 , вычисление её значений в точках от 1,1 до 1,5 даёт те же результаты, что получены приближённым методом. Более того, значения совпадают до восьмого знака после запятой.

Ответ:

х	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5

			75

Источник: https://studfile.net/preview/16711204/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)

Материал: 5544

Тогда

Ответ:

Ответ:

Формула метода 3-го порядка точности:

Ответ:

Формула метода 4-го порядка точности

Все дальнейшие вычисления аналогичны и приведены в таблице.

Таблица (начало)

Таблица (окончание)

Ответ:

Смотрите также: