Материал: 5544

В последнем столбце для сравнения указано точное решение y 1/ x . Видно изменение знака погрешности с последующим её нарастанием.

Вкачестве ответа выступает столбец yk .

§5. Аппроксимация, устойчивость и сходимость

втеории разностных схем

Конечно-разностные методы (методы сеток) являются эффективными методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. При этом можно рассматривать задачи с начальными, краевыми или начально-краевыми условиями. К таким методам относятся методы Эйлера и Рунге − Кутта решения задачи Коши (задачи с начальным условием) для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, изложенные в предыдущем параграфе.

Здесь будет изучаться вопрос о сходимости приближённого решения, полученного разностным методом, к точному решению соответствующей задачи для дифференциального уравнения. При этом возникнут понятия аппроксимации и устойчивости разностных схем. Изучаться будут только линейные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

второго порядка с неизвестной функцией y=y(x) при заданных на интервале

(a, b) коэффициентах a1(x), a0(x) и правой части f(x). При этом ищется функция y(x), удовлетворяющая однородным краевым (граничным) условиям

Задача (5.1) – (5.2) называется первой краевой задачей для дифференциального уравнения (5 .1).

81

Классическим решением задачи (5.1) – ( 5.2) называется непрерывная на отрезке [a, b] и дважды непрерывно дифференцируемая на интервале (a, b) функция y x , которая удовлетворяет уравнению (5.1) и краевому условию (5.2).

Можно рассмотреть более общую краевую задачу с неоднородными гра-

ничными условиями

где c и d – известные числа. С теоретической точки зрения задача (5.1) , (5.3) не представляет особого интереса, так как сводится к предыдущей заменой неизвестной функции. Действительно, введём следующую замену:

Тогда, очевидно, что в силу условий ( 5.3) для новой функции u(x) будут

Последнее преобразуется к виду

т. е. к виду (5.1) относительно неизвестной функции u(x), только с другой правой частью.

Дифференциальную краевую задачу (5.1) – (5.2) будем записывать в виде операторного равенства

где L – заданный оператор, а f – заданная правая часть. Для этого достаточно положить

82

y a1 (x) y a0 (x) y, a x b, Ly y(a),

y(b);

f (x), f 0,

0.

Введённый оператор L является линейным.

Для дальнейших рассуждений введём следующие обозначения. Через Ω обозначим интервал (a, b), а через S – его границу {a, b}. Отрезок [a, b] обозначим через . Очевидно, что = Ω U S, т. е. отрезок [a, b] есть замкнутое множество, являющееся объединением интервала (a, b) (открытого множества) и его грани-

цы S = {a, b}.

Введём понятие сетки. Разобьём отрезок [a, b] на N равных частей с шагом h > 0 точками деления xi=x0+ih ( i 0,1, , N ). При этом предполагаем, что x0=a, xN=b. Точки деления x называются узлами сетки. Будем говорить, что на отрезке

[a, b] нанесена сетка с равномерными шагом

h= b a = xN x0 ,

N N

т. е. равномерная сетка на отрезке. Это множество обозначим h :

h = { xi = x0 + ih, i 0,1, , N }.

Множество h ={xi, i 1, , N 1 } называется равномерной сеткой на ин-

тервале (a, b). Множество Sh={x0, xN} называется границей для Ωh. Точки x0 и xN называются граничными узлами. Очевидно, что h= Ωh U Sh.

Любая функция yh yh x , определённая в узлах xi сетки Ωh или h, называ-

ется сеточной функцией. Таким образом, сеточная функция есть функция не непрерывного, а дискретного аргумента. Сама функция зависит от шага h сетки как от параметра. Каждую такую функцию можно рассматривать как конечномерный вектор yh yi , число компонент (координат) yi yh xi которого равно числу узлов соответствующей сеточной области.

83

На множестве сеточных функций введём специальные операторы – конечно − разностные отношения, являющиеся аналогами производных для функций непрерывного аргумента (см. § 1 и § 4).

Здесь применяются следующие разноcтные операторы:

Операторы (5.6) – (5.8) называются разностными отношениями первого порядка, причём (5.8) называют симметрическим разностным отношением.

В ряде учебников разностные отношения (5.6) – (5.9) называют разностными производными соответствующего порядка в точке xi, при этом (5.6) называют

правой разностной производной, а (5.7) – левой разностной производной.

Заметим, что каждый из операторов (5.6) – (5.9) определён на своём множестве узлов. Операторы (5.8) и (5.9) определены для узлов сетки с номерами i= 1, , N 1, т.е. на Ωh . Оператор (5.6) определён для узлов сетки с номерами i = 0,1, , N 1, а оператор ( 5.7) – для узлов i c номерами i=1, , N .

Рассмотрим разностное уравнение

84

с неизвестной сеточной функцией yh(x) при заданных на Ωh коэффициентах a1,h(x), a0,h(x) и правой части fh(x). При этом ищется сеточная функция из h, удовлетворяющая на Ωh уравнению (5.10) и однородным граничным условиям

По аналогии с дифференциальными уравнениями задачу (5.10) , (5.11) можно назвать первой краевой задачей для разностного уравнения (5.10).

Исходя из трактовки сеточной функции yh как вектора с компонентами yi, задача (5.10) , (5.11) представляет собой следующую систему линейных алгебраических уравнений:

которую можно решить различными алгебраическими методами.

Задачу (5.10) – (5.11) будем записывать в виде операторного уравнения

где L h – заданный оператор , а fh – заданная правая часть. Для записи (5.10) , (5 .11) в виде (5.12) нужно положить

2 y h a1,h yh a0,h yh ,

Lh yh y0,

yN ;

fh (xi ), (xi h ) fh 0,

0.

Оператор Lh является линейным.

Будем предполагать, что решения соответствующих краевых задач (можно сказать, операторных уравнений (5.5) и (5.12)) существуют и единственны на

85