Материал: 5544

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Подберём коэффициенты K, B так же, как в примере 1, и затем найдём интересующие нас A 1/ K и b BA B / K . Вычисляем:


х	у	Х	Y	X 2	XY	y xk	y xk yk	y y	k	2
									k

–0,5	1,5	–0,130 6	0,666 7	0,0171	–0,087 1	1,485	–0,015	0,000 22

–0,2	1,4	–0,020 1	0,714 3	0,0004	–0,014 4	1,365	–0,035	0,001 22

0	1,3	0	0,769 2	0	0	1,345	0,045	0,002 04

0,5	1,5	–0,130 6	0,666 7	0,0171	–0,087 1	1,485	–0,015	0,000 22

0,8	1,8	–0,361 4	0,555 6	0,1306	–0,200 8	1,819	0,019	0,000 37

		–0,642 7	3,372 5	0,1652	–0,389 4		0	0,004 07

В последней строке, как обычно, указаны суммы чисел в столбцах. Составляем систему


		0,165 2K 0,6472B 0,389 4
				3,372 5,
		0,642 7K 5B
из которой K 0,536,		B 0,743 Тогда по приведённым выше формулам
	A 1/ 0,536 1,866;			b 0,743 1,866 1,387 .
Таким образом,	y	1,866	. В последних столбцах таблицы приведены

		ln cos x 1,387

теоретические значения функции, отклонения от фактических и их квадраты.

	1,866
Ответ:	y		.
		ln cos x 1,387

Замечание 1. Значения функции, приведённые в условии, получены округле-

	2
нием значений функции	y ln cos x 1,5	, найденных в указанных точках x, до 1

знака после запятой. При округлении входных данных до целых чисел МНК дает

функцию		y	0,709		, а при округлении до двух знаков получается, что

			ln cos x 0,766
y	1,972			.

ln cos x 1,481

Замечание 2. Таким же образом можно найти более сложную зависимость

y	A	, взяв Y 1/ y 2 и выполнив действия по той же схеме.

	ln cos x b
	ln cos x b

1.6 Интерполяция сплайнами

Здесь, как и ранее, рассматривается приближение функции f (x) , заданной аналитически на отрезке [a;b] или таблицей (1.1) другой функцией (x) . При этом искомая на отрезке [a;b] функция (x) в заданных точках xi должна при-

нимать значения равные f (xi ) .

В первых пунктах роль (x) выполняли интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, которые различаются только формой записи. Однако, приближение функции с помощью многочленов оказывается малопригодным, если приближаемая функция f (x) имеет небольшое количество производных, а такие функции чаще всего встречаются в приложениях. Это обстоятельство и привело к необходимости введения сплайнов.

Для определённости будем рассматривать приближение функции f (x) на отрезке [a;b] . Разобьём его на части [x0 ; x1 ] , … , [xn 1 ; xn ] , при этом x0 a , xn b и x0 x1 xn . Обозначим это разбиение отрезка через , а разность xi xi 1 через hi .

Сплайном Sm ( f , x) порядка m называется функция, являющаяся многочле-

ном порядка m на каждом из отрезков i				[xi 1 ; xi ] , т. е. на каждом отрезке i
S	m	( f , x) P	(x) a	a	x1 a xm	(1.13)
	m	im	i0	i1	im

иудовлетворяет условиям:

1)Sm ( f , x) непрерывна вместе со своими производными до порядка m 1 в

узлах интерполирования		x1 , , xn . То есть	Pim (xi ) P(i 1)m (xi )			для i 1, , n 1 и
для	всех j 1, , m 1	выполняется	равенство	P( j )	(x	) P( j )	(x	)	для
				im	i	(i 1)m	i
i 1, , n 1;
2)	Sm ( f , xi ) f (xi ) для i 0,1, , n .

Из определения следует, что для построения сплайна порядка m надо задать значения m 1 коэффициента, так как на каждом отрезке [xi 1 ; xi ] сплайн являет-

ся многочленом степени m . Условия 1), 2) задают n(m 1) (m 1) ограничений.

При m 1 число ограничений равно числу неизвестных и коэффициенты сплайна находятся из условия 2). Если m 2 , то число ограничений меньше числа неизвестных коэффициентов и, следовательно, для однозначного определения коэффициентов надо задать дополнительные условия.

Обычно сплайны степени m 2 p 1 находят из решения следующей задачи:

Задача 1. Среди сплайнов Sm ( f , x)	найти такой,		на котором интеграл от
b	2
b	Sm ( f , x) ( p)
квадрата p -й производной сплайна	Sm ( f , x) ( p)	dx	достигает наименьшего
a
значения.

Аналогично сплайны чётной степени m 2 p находят из решения задачи 1. Сплайны, являющиеся решениями задачи 1, называются интерполяционными

сплайнами. Имеют место теоремы.

Теорема 1. Если n p 1 , то задача 1 имеет единственное решение.

Теорема 2. Если h max hi		\| i 1, n и Sm решение задачи 1, то найдётся по-
стоянная C такая, что
		S	m	f (x)		C	Ch p 0,5

и для производных порядка j		( j p 1)

	Sm( j )			f ( j)	C	Ch p 0,5 j .

Так как сплайны на каждом отрезке [xi 1 ; xi ] являются многочленами, то ин-

теграл в задаче 1 является квадратичной формой от коэффициентов сплайна. Поэтому решение задачи 1 сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов сплайна. В частности, для сплайнов третьего по-

рядка задача 1 сводится к решению системы из n 1						уравнения с n 1 неизвест-
ной M (M	, , M	n 1	)
1		n 1
				CM D .			(1.14)
Элементы матрицы-столбца D задаются равенствами
		di		f (xi 1 ) f (xi )	f (xi ) f (xi 1 )	.	(1.15)
		di			hi	.	(1.15)
				hi 1	hi
Матрица	C является трёхдиагональной, и					её элементы	задаются
соотношениями

	hi				ïðè
		6			ïðè
		6
				hi 1
	hi			hi 1
Cij

					3
	h		1
		i	1			ïðè
		6				ïðè
		6
	0				ïðè

j i 1,

ïðè j i ,

(1.16)

j i 1,

i j 1.

Решив систему (1.14) и введя M 0 M n 0 для каждого i от 1 до n на отрез-

ке i определим многочлен третьей степени:

	(x	i	x)3		(x x	i	1	)3
Pi3 (x) M i 1				M i
					6hi
			6hi

	M	h2	x	i	x		M h2
		i 1 i		i			i i
f (xi 1 )						f (xi )
f (xi 1 )		6			hi	f (xi )	6
		6			hi		6

x xi 1
		.	(1.17)

	hi

В качестве реализации данного алгоритма рассмотрим следующий пример.

Пример. Построить сплайн третьего порядка на отрезке [0;4] для разбиения

с равномерным шагом h 1 для функции, заданной таблицей
	xi	0	1	2		4
	xi	0	1	2	3	4
	f (xi )	0	0,71	1	0,71	0

Решение. По формулам (1.15) построим матрицу D . Так как hi h xi xi 1 ,

то

di f (xi 1 ) 2 f (xi ) f (xi 1 ) .

Следовательно, d1 0,42 ,	d2 0,58 ,		d3	0,42 . Матрица системы C будет
иметь вид в силу (1.16)
		2		1
						0
						0
		3		6
	C		1	2		1

			6	3		6


			0		1		2
			0	6
				6			3

Решив систему (1.14), получим M1 0,471, M2 0,634 , M 3 0,471. Счи-

тая M0 M 4 0 , получим значения многочленов третьей степени на каждом из

отрезков [xi 1; xi ] . Из формулы (1.17) следует, что
а) на отрезке [0;1]
	(1 x)3				(x 0)3						1 x								0,471 x 0										3
P13(x) 0			0,471						0				0,71													0,789x 0,079x				;
P13(x) 0	6		0,471		6				0			1	0,71							6				1		0,789x 0,079x				;
	6				6							1								6				1
б) на отрезке [1;2]
		(2 x)3					(x 1)3									0,471						2 x					0,634	x 1
P23(x) 0,471				0,634								0,71													1
P23(x) 0,471		6		0,634				6				0,71						6			1				1		6	1
		6						6										6			1						6	1
				0,079 (2 x)3 0,106 (x 1)3																		0,789 (2 x) 1,106 (x 1) ;
в) на отрезке [2;3]
		(3 x)3				(x 2)3									0,634					3 x							0,471	x 2
P33(x) 0,634				0,471								1											0,71
P33(x) 0,634		6		0,471				6				1			6					1			0,71				6	1
		6						6							6					1							6	1
			0,106 (3 x)3									0,079 (x 2)3									1,106 (3 x) 0,789 (x 2) ;
г) на отрезке [3;4]
		(4 x)3								0,471				4 x						x 3
P43(x) 0,471				0 0,71													0
P43(x) 0,471		6		0 0,71							6				1		0			1
		6									6				1					1

0,079 (4 x)3 0,789 (4 x) .

§2. Численные методы решения функциональных уравнений

2.1.Метод деления отрезка

Внастоящем параграфе решается задача о нахождении действительных (вещественных) корней функционального уравнения

f x 0

(2.1)

c функцией f(x) действительной переменной, определённой на некотором промежутке.

Пусть функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков (f(a)f(b)<0). Тогда внутри этого отрезка, т.е. на интервале (a, b), существует по крайней мере один вещественный корень

Источник: https://studfile.net/preview/16711204/

Смотрите также:


_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)
«В истории мы черпаем мудрость». Фрэнсис Бэкон