Материал: 5544

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вычислив	f 1,521 3 31,521 32 1 7,9431 и	t		1,521 3	0,042 1	1,516 0 , ви-
			3
				7,9431

дим, что решение с точностью 0,001 закончено, поскольку после замены 1,521 3

на 1,516 0 длина	отрезка станет меньше 0,001. На концах нового отрезка
f 1,515 9 0,000 6	и f 1,516 0 0,000 2, что и требовалось.
Ответ: x 1,516	– решение уравнения x3 x 5 0 с точностью 0,001.

При решении методом Ньютона возрастает число используемых параметров и шагов, поэтому решение удобно оформлять в виде таблицы, как в следующем

примере.
Пример 2. Решим с точностью 10 4	уравнение ln x 5 3x2 .
Решение. Приводим к виду f x 0 , откуда f x ln x 3x2 5 .

В таблице 2.2 в каждой строке 1-е и 2-е числа – это левый и правый концы отрезка, 7-е число tnew – правый конец, пересчитанный по формуле касательных.

Величина x – это дробь	x tnew		– новый левый конец отрезка, найден-
	f x f t	new

ный методом хорд как xnew x f x x . Остальные обозначения указаны.
Обратите внимание, что	значения		tnew , f tnew , xnew попадают в следующую

строку как t, f t , x соответственно. Запасную 5-ю цифру не пишем, действия прекращаем при совпадении 4 цифр после запятой.

Начальное приближение должно быть таким, чтобы f t f t 0 . В примере

f t 6 1/ t 2 , и		можно	взять	t 2 , поскольку			f 2 ln 2 3 22 5 0 и
f 2 6 1/ 4 0 .
Таблица 2.2 – Решение примера 2

	номер	x	t		f(x)	f(t)	f t	f / f t
	строки

	1	1	2	-2		7,693 1	12,5	0,615 5

	2	1,250 0	1,384 5	-0,089 2		1,076 3	9,029 5	0,119 2

	3	1,260 7	1,265 4	-0,000 1		0,038 7	8,382 4	0,004 6

	4	1,260 7	1,260 7		–	–	–	–

Таблица 2.2 (окончание)

		номер	tnew		f (tnew )	x	xnew
		строки

				36

1	1,384 5	1,076 3	0,125 0	1,250 0

2	1,265 4	0,038 7	0,119 9	1,260 7

3	1,260 7	0,000 1	0,119 7	1,260 7

4	–	–	–	–

Концы отрезка совпали с точностью до 4 знаков, вычисления прекращаем. Ответ: x 1,260 7 с точностью 0,0001.

2.5. Метод простых итераций

Как известно, умножение уравнения f(x) = 0 на число m 0 и прибавление к обеим частям уравнения одной и той же функции h(x) не меняют его корней, то есть уравнения f x 0 и mf x h x h x равносильны для любых m и h(x) (при условии, что h(x) определена в точках, где f(x) = 0).

Уравнение f(x) = 0 можно свести к виду x = g(x) так, чтобы функция g(x) отвечала определённым условиям, позволяющим легко найти корень.

Если на отрезке [a, b] производная функции g(x) отделена от 1, то при любом начальном приближении x0 a;b :

а) последовательность xk 1 g xk сходится к корню уравнения x = g(x);

б) корень c существует, находится на отрезке [a, b] и единственный;

в) элементы последовательности x1 , x2 , , xk , не выходят за границы [a, b],

всё точнее приближаясь к c.

Условие отделённости производной от 1 означает, что найдётся число 0<q<1

такое, что для любого x a;b выполнено		q . Это условие достаточно, но

	g x

необязательно (не является необходимым). Фактически его заменяют условием

1, приводящим к отделённости от 1 при уменьшении отрезка.

g x

Пример. Решить уравнение x 2 x .

Решение. Производная правой части 2

x 2

1 при любом x 1.

В качестве начального приближения можно взять любое x0

Пусть x0 2 , тогда x1 2 2

2,828 4 и x2

2 2,8284

3,3636 .

Следующие приближения

x3 2 3,3636 3,6680

x4 2 3,668 0 3,830 4.

Продолжая, получим последовательность

3,914 3, 3,956 9, 3,978 4, 3,989 2, 3,994 6, 3,997 3, 3,998 6,

сходящуюся к числу 4 – к решению уравнения.

xn 1

xk 1

Ответ: x = 4.

В примере начальное приближение

x0 0,01

также привело бы к корню 4,

хотя

1. Зато корень 0 получить нельзя: при x 0

будет g x .

g 0,01

Если таким же образом решать уравнение x x 2 , корни которого 0 и 1, то для

и 2 0,8 1,6 1. Но для

0,8 последовательность сойдётся к 0, хотя x2 2x

любого x0 1 последовательность xn .

Выясним, как подобрать коэффициент m, чтобы для уравнения x x mf x ,

полученного из уравнения f(x) = 0, выполнялось условие

q 1.

x mf x

Поскольку

достаточно

выполнения условия

x mf x 1 mf x ,

1 , что равносильно 1 1 mf x 1 и

2 mf x 0 .

1 mf x

Пусть корень уравнения заведомо находится на некотором отрезке [a, b].

Если на [a, b] функция возрастает, то

f x 0.

При m>0 невозможно получить

mf(x)<0, зато при m<0 условие всегда выполнено.

Условие 2 mf x будет выполнено, если

m 2 / f x ,

что равносильно

m 2 / M , где M max F x на отрезке [a, b].

Если на [a, b] функция убывает, то

f x 0 , тогда при m>0

всегда mF x 0 ,

а для выполнения условия 2 mf x надо взять m 2 / f x , что равносильно

m 2 / M , где	M max		на [a, b].

		f x
Итак, на отрезке [a, b] надо найти				M max		, взять положительное число

					f x

m 2 / M и составить уравнение xk 1 xk mf xk для убывающих функций f или уравнение xk mf xk для возрастающих функций f.

Для успешного решения методом простых итераций нужен как можно меньший отрезок изоляции, на котором к тому же функция монотонна. Но поиск отрезка – долгий процесс, оправданный при вычислениях "вручную". При автоматизации вычислений, например, при работе в пакете EXCEL, проще делать так:

1) Взять число m 0 и составить последовательности xn mf xn и xn 1 xn mf xn .

2) Взять приближение x0 , чтобы f x0 было не слишком велико.

3) Найти несколько элементов последовательности xn по одной из формул п. 1.

4) Если сходимость «просматривается», увеличить m и продолжить п. 3.

5)Если сходимости нет, найти несколько элементов по другой формуле п. 1.

6)Если сходимости снова нет, поменять x0 и повторять пункты 3-5, пока ре-

шение не начнёт получаться.

Замечание о скорости сходимости. При замене уравнения f x 0 на равно-

сильное x g x не так очевидно, достигнута ли нужная точность, поскольку при малом m приближения xn 1 и xn мало отличаются, а значение функции f(x)

по значению функции g(x) неясно. Доказано, что для возрастающих функций f(x) всегда

c xn		q	xn 1	xn	,


		q
	1

а для убывающих f(x) всегда c xn xn 1 xn , что позволяет по разности между двумя приближениями оценить настоящий корень уравнения.

Таким образом, если уравнение f x 0

надо решить с точностью , то есть

прийти к выполнению условия

c xn

, в случае возрастающей f

надо прово-

дить

пересчёт, пока не получится

n 1

, или, что то

же самое,

1 q

n 1

1 q

Когда это произойдёт, можно утверждать, что с точностью корень c xn .

Если оценить параметр q затруднительно, то, заметив, что xn 1 xn , следу-

ет найти

f xn 1 , и если окажется, что

f xn 1 , вычисления можно прекратить.

Из формул для оценки решения следует, что при q 1 знаменатель 1–q бли-

зок к 0, дробь велика, и оценить

c xn

нельзя. Наоборот, при q 0 дробь мала, и

тогда

c xn

0 , то есть xn c .

Вычисление корней при помощи метода простых итераций

xk 1 x 1 xk 1 xk 2

Известная формула x2 x 1 позволяет с какой угодно точностью извлекать корни любой целой степени из любого положительного числа.

Пусть надо найти

или, что тоже самое,

решить уравнение x2 A при

x 0 . Заметим,

что тогда

x2 1 A 1 , то есть x 1 x 1 A 1. Отсюда можно

получить x 1

A 1

и одновременно x 1

A 1

. Производные правых частей

x 1

A 1

соответственно

x 1 2

x 1

Поскольку при x 0

всегда x 1 2

x 1 2 , в 1-м случае производная меньше

(по модулю) и результат получается быстрее.

Выбираем

любое x0 0 , чтобы

выполнялось

x0 1 2

A 1. Находим

1-е

приближение

x 1

A 1

и затем все следующие как x

A 1

n 1

xn 1

Последовательность xn

A .

Пример 1. Найдём

6 .

Решение.

Итерационная формула имеет вид xn 1

. Подберём x0

чтобы x0 1 2

5 . Например, подходит x0

2 . Находим

x1 1

2,666 7

; x2 1

2,363 5 ;

x3 1

2,486 5

;

2,363 5 1

2,666 7 1

и далее таким же образом последовательность

2,434 1, 2,456 0, 2,446 8, 2,450 6, 2,449 0, 2,449 7, 2,449 4, 2,449 5.

Вычисления ведём с 4-мя знаками и прекращаем, когда числа повторяются.

Ответ: 6 2,449 5 .

Подобным образом можно найти 3 A .

Заменив уравнение x3 A на равносильное ему x 1 x2 x 1 A 1 , полу-

чаем последовательность xn 1 1		A 1
						.
	x2	x			1	.
	n			n
Модуль производной правой части			A 1 2x 1				заведомо меньше 1 при до-

x2 x 1 2

статочно больших значениях x.

Источник: https://studfile.net/preview/16711204/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)