Материал: 5544

уравнения (2.1). Сформулированное утверждение называется теоремой Больцано – Коши об обращении непрерывной на отрезке функции в нуль.

Будем считать, что интересующий нас корень c является единственным на интервале (a, b). Так будет в случае строго монотонных (возрастающих, убывающих) функций на (a, b). Последнее обеспечивается положительностью или отрицательностью производной на этом интервале.

В случае нескольких корней уравнения (2.1) выделяют промежутки монотонности функции f(x).

Итак, пусть на отрезке [a, b] функция f(x) удовлетворяет условиям сформулированной теоремы Больцано – Коши и имеет на нём единственный корень с. Тогда число x0 a можно считать приближённым значением этого корня с не-

достатком, а число x0 b – его приближённым значением с избытком.

Погрешность начального приближения х0 к с, очевидно, будет удовлетворять неравенству c x0 b a .

Перейдём к описанию нахождения корня уравнения (2.1) методом деления отрезка (методом «вилки» или дихотомии или бисекции).

Разделим отрезок [a, b] пополам и за первое приближение х1 к с возьмём

середину отрезка [a, b], т. е. x1 a b . При этом может представиться два

2

случая:

1)f x1 0 (в этом случае c x1 и искомый корень найден);

2)f x1 0 .

Во 2-м случае на одной из половин [a, x1], [x1, b] знак f x1 совпадает или со знаком f a , или со знаком f b .

На одной из этих половин функция f x будет принимать значения разных знаков. Эту половину называют «вилкой». Обозначим её [a1, b1]. Искомый корень с находится на отрезке [a1, b1]. Абсолютная погрешность первого при-

С отрезком [a1, b1] поступим так же, как и с исходным отрезком [a, b] , т. е. разделим его пополам. За второе приближение x2 возьмём середину отрезка

26

Врезультате продолжения действий будут иметь место две возможности:

1)процесс завершится в результате того, что на некотором этапе значение f(x) будет равным нулю в середине некоторой из последующих половин отрезков (искомый корень с будет найден).

2)описанный процесс будет неограниченно продолжаться.

Во второй ситуации будем иметь стягивающуюся систему отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn],…, причём при любом n функция f(x) имеет на концах соответствующего отрезка значения разных знаков. Известно, что стягивающаяся система отрезков имеет одну общую точку, к которой сходятся обе последовательности an и bn. Можно доказать, что эта общая точка и есть с.

Таким образом, при применении данного метода за приближённое значение к искомому корню с берут число

Этим очень простым по сущности методом корень уравнения (2.1) можно вычислить с какой угодно точностью. Согласно (2.3) точность приближения хn+1 к корню с имеет порядок О(2–n–1). Это означает, что метод деления отрезка требует большой вычислительной работы.

Алгоритм метода достаточно прост.

1-й шаг. Выберем отрезок a,b так, чтобы выполнялись два условия:

а) функция f x непрерывна на a,b ;

б) на концах отрезка f x принимает значения разных знаков, то есть f a f b 0 .

27

2-й шаг. Найдём c – середину a,b как c 0,5 a b и значение f c . Если f c 0 , то корень найден. Если f c 0 , то знак f c совпадает или со знаком f a , или со знаком f b .

В первом случае решение уравнения находится на отрезке c,b . Обозначив точку c как a , получим отрезок a,b вдвое меньшей длины, где продолжаем искать корень, а предыдущая точка a нас уже не интересует.

Во втором случае (знак f c совпал со знаком f b ) решение находится наa, c . Обозначив c как b , также получаем новый отрезок a,b .

В любом случае одна из границ отрезка сохраняется, а другая сдвигается в середину отрезка. Кратко сказанное можно записать так:

При переходе к новому отрезку знаки f a и f b никогда не изменятся. Проверка. Деление отрезка и сдвиг точек проводим, пока не выполняется

какое-либо из двух условий:

Точность может быть задана заранее или выбрана произвольно. Если ни одно из условий не выполнено, повторяем шаг 2. Если выполнено хотя бы одно,

f 0 03 0 2 2 0 .

Подберём точку, где функция положительна. Подходит x 2 :

2-й шаг. Находим c 0,5 a b 0,5 0 2 1. В этой точке

28

f c f 1 13 1 2 2 0 .

2-й шаг. Находим c 0,5 1 2 1,5. В ней

f 1,5 1,53 3 2 0,150 3 0 .

Видим, что f 1 0 , f 1,5 0 , f 2 0 , поэтому a 1, b 1,5 .

Проверка. 1,5 1 0,01 . Продолжаем деление отрезка.

2-й шаг. Находим c 0,5 1 1,5 1,25; затем

f 1,25 1,253 1,25 2 1,164 9 0 .

Теперь f 1 0 , f 1,25 0 , f 1,5 0 , откуда a 1,25,b 1,5 .

Проверка. 1,5 1,25 0,01. Продолжаем действия.

Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы. Середины считаем с до-

Длина отрезка 1,469;1,484 меньше удвоенной точности:

середина этого отрезка – решение уравнения с точностью 0,01. Находим c 0,5 1,484 1,469 1,476 .

Округляя до двух знаков после запятой, получаем решение x 1,48 .

Заметим, что f 1,476 0,000 7 0,01, а f 1,48 0,025 , что заметно хуже, одна-

При решении сами значения функции не играют роли, если только не окажется случайно, что f c 0,01, где 0,01 – необходимая точность. Важны только знаки функции. Это удобно, поскольку знак функции в точках, достаточно уда-

29

лённых от корня, обычно очевиден, что позволяет быстро пройти первые шаги решения.

Знак функции на каждом конце отрезка не меняется в процессе сужения отрезка. А именно, если для 1-го приближения f a 0 и f b 0 , то это же будет справедливо для любого следующего приближения.

Кроме того, число шагов можно предсказать заранее.

Длина начального отрезка в примере составляла 2, и, чтобы, уменьшая её на каждом шаге в 2 раза, получить отрезок длиной менее 0,02, надо проделать не

2.2. Метод хорд

Метод хорд (метод секущих) сходится (приводит к решению) быстрее, чем метод деления отрезка, однако требует на каждом шаге большего числа действий. Приведём схему метода.

Пусть необходимо решить уравнение (2.1) с точностью . Выбираем произвольные точки x0 , x1 . Каждое следующее приближение, начиная с x2 , находим по формуле

существование корня и получение его этим методом. Однако хорда (секущая) пересечёт ось абсцисс, даже если обе точки графика находятся с одной стороны от оси, поэтому условие не является необходимым. Но в любом случае надо, чтобы f x0 f x1 , иначе секущая параллельна оси OX, а при вычислении точки происходит деление на нуль.

дополнительным десятичным знаком, то есть с 4 знаками.

30