Материал: 5652

Будем исследовать процесс производства одного вида продукции с целью максимизации прибыли от его реализации. Перепроизводство приводит к очевидным убыткам, так как резко начинают увеличиваться переменные затраты.

Рассмотрим процесс производства продукции в дискретные моменты времени t = 0,1,...,T, где Т – плановый период. Спрос на продукцию в эти моменты времени определяется, по предположению, заданной функцией

Qd t 5,2338t 72,07 .

При эффективном планировании производства предложение должно стремиться полностью удовлетворить спрос: Qs Qd , поэтому необходимо, чтобы на каждом этапе t спрос был полностью удовлетворён, причём это может достигаться необязательно через выпуск продукции, равный спросу на каждом этапе t, но и через накапливаемый остаток нереализованной продукции, выпущенной в предыдущие периоды. Поэтому важным моментом в решении задачи будет не равенство выпуска спросу в каждом месяце, а равенство суммарного годового спроса и суммарного годового выпуска продукции. Функция переменных затрат VC(Qs) на единицу продукции зависит от объёма выпуска и имеет зависимость второй степени VC(Qs) 0,107Q 26,846. Оптовая цена единицы продукции Р составляет 55 руб. и остаётся постоянной в течение всего планируемого периода. Постоянные затраты на выпуск этого вида продукции FC составляют 50 тысяч руб. в месяц. Известно, что налог на прибыль τ составляет 24%. С учётом всего этого можно определить функцию прибыли после налоговых отчислений так:

f2 f1 ( (Qs)) (1 ) , f1 ( (Qs)) FC P VC QsQs t FC .

Для производителя продукции наиболее предпочтительным является

(u(t)<0) функция прибыли изменяется на определённую величину, которую можно определить следующим образом:

(P Vc(Qs u)) (Qs u) (P Vc(Qs)) Qs .

21

В этом случае величина изменения прибыли будет иметь следующий функциональный вид:

Задача планирования выпуска продукции в общем виде формулируется в данном случае следующим образом: найти функцию объёма производства продукции Qs(t), t=1,2,...,T и динамику необходимого изменения этого объёма, выражаемую функцией u(t), t=1,2,...,T-1, чтобы свести к максимуму суммарную прибыль от реализации данной продукции в течение планового периода Т. Математическая модель задачи в нашем случае примет вид:

Уравнение процесса записывается в канонической форме:

В соответствии с общей постановкой задачи для многошаговых процессов соотношение (2.4) определяет в качестве состояния системы Qs(t), в качестве управления используется u(t). Кроме того, Qs(t)≥0 – объём выпуска продукции не может быть отрицательным. Однако, для того чтобы решать задачу (2.1) – (2.5) методом Лагранжа, необходимо освободиться от ограничения на состояние Qs(t).

Имея в виду такую возможность ликвидации отдельных ограничений с включением в функционал «штрафа» за их нарушение, тем не менее функционал (2.1) предпочтительнее оставить без изменения. Наложение таких строгих ограничений на объём выпуска может привести к невозможности решения данной задачи методом Лагранжа, поэтому вместо явного учёта ограничений Qs(t)≥0 проще воспользоваться численным методом прямой прогонки при решении краевой задачи. При этом при каждой итерации бу-

22

дет учитываться только обобщённое ограничение о неотрицательности объёма выпуска, если окажется, что Qs(t)<0 при первом же t, будут прекращаться вычисления и переходить к новой итерации. Таким образом, можно ограничиться более простой постановкой задачи в отличие от использования метода «штрафных функций», а неучтённые ограничения на состояние Qs(t)≥0 будут учитываться непосредственно в процессе вычислений. Также для удобства решения поставленной задачи не будут учитываться налоговые отчисления и постоянные затраты, так как величина налоговой ставки и постоянных затрат постоянны, исключение их из функционала не изменит найденный в процессе решения задачи оптимальный план управления. Просто на конечном этапе при представлении найденного решения прибыль будет указываться с учётом постоянных затрат и налоговых отчислений.

Решение задачи

Итак, известно, что планируемый расчётный период исчисляется 12 месяцами Т=12, спрос на каждом расчётном периоде вычисляется по формуле Qd(t)=72,07+5,2338*t. Исходные данные отражены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Данные по спросу продукции на каждом этапе планирования

Таким образом, необходимо решить задачу:

при 106,74 ≤Qs12 ≤ 165,48.

В результате решения поставленной задачи Qs*(12) =106,74 (тыс.бут.). В

этом случае по формуле (3.2.18) можно получить y(12)= 3,69.

t=11. Теперь, подставляя значение y(t+1)= 3,69, Qs(12)=106,74 и представляя u как разность Qs(t+1)-Qs(t), неизвестным в этом неравенстве остаётся только Qs(t). Таким об-

разом, на этапе t=11 решается система неравенств:

Решение данного неравенства даёт результат Qs(11)= 106,74 и u =0, при том, что правая часть данного неравенства равна левой. По имеющимся ре-

зультатам можно определить y(11):

На следующем шаге в формулу вместо значения y(t+1), подставляя зна-

чение y(11), решается новая система неравенств

t=10. Проделав аналогичную шагу 11 операцию, получим объём выпус-

ка (Qs(10)) в данной период равный 102,985 тыс.бут., а u=3,755, и можно получить y(10), равный:

Теперь имеются необходимые данные для решения системы неравенств

на следующем этапе t=9.

t=9

Qs(9)=100,824 тыс.бут. u = 2,161

y(8) = -3,472

Проделывая аналогичные операции на последующих этапах можно получить следующие результаты:

Суммарный годовой объём выпуска по приближенно оптимальному плану равен 1 170,026 тыс. бут., однако он не полностью удовлетворяет годовой спрос. Необходимо провести ещё пару итераций, чтобы попытаться повысить годовой объём выпуска.

Итерация 2. На данной итерации можно попробовать принять значение выпуска в период t = 12 равному верхнему значению доверительного интервала для данного периода, то есть 165,48 тыс. бут., тогда результат решения примет другой вид. Суммарный годовой объём выпуска равен 1

25