Материал: 5695

Y0 в зависимости от численности занятых в производстве. Функция K(L) является монотонно убывающей функцией. Необходимо отметить, что это свойство не определяется конкретным видом производственной функции (1.21), а присуще всем производственным функциям с двумя производственными факторами.

Согласно соотношению (1.41), предельные нормы замещения производственных факторов для степенной производственной функции являются линейными функциями отношения объёмов производственных факторов. При пропорциональном росте объёмов производственных факторов предельная норма замещения не изменяется. Из (1.41) получаем уравнения изоклиналей для степенной производственной функции

Следовательно, изоклинали степенной производственной функции представляют собой лучи, исходящие из начала координат.

Графики изоквант и изоклиналей степенной производственной функции в общем случае совпадают с видом изоквант и изоклиналей, представленных на

рисунках 1.1 – 1.3.

Величина эластичности замещения труда капиталом для степенной производственной функции, как следует из (1.42), всегда равна единице:

= 1.

Это означает, что в случае степенной производственной функции при увеличении капиталовооружённости труда на 1 %, предельная норма замещения труда капиталом также увеличится на 1 %.

Для степенной производственной функции эластичность замещения факторов имеет особенно простую геометрическую интерпретацию: поскольку изоклинали этой производственной функции – прямые линии, то отношение K/L характеризуется тангенсом угла наклона изоклинали (рисунок 1.3). Поэтому величина показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (то есть

(K, L) производная берётся вдоль изокванты, проходящей через точку (K, L).

34

Постоянство эластичности замещения производственных факторов многих производственных функций позволяет охарактеризовать с её помощью возможность замещения факторов в целом (а не при каком-то конкретном соотношении факторов, как это удаётся на основе предельной нормы замещения h). Чем больше величина , тем в более широких пределах производственные ресурсы могут замещать друг друга.

Равенство единице эластичности замещения факторов в степенных производственных функциях вне зависимости от коэффициентов A, , является одним из важнейших свойств производственных функций этого вида. Оно показывает, что характеристика замещения одного фактора другим при выборе степенной производственной функции задана заранее вне зависимости от желания исследователя. Это является одним из недостатков степенной производственной функции.

Возможность замещения одного производственного фактора другим (равенство единице эластичности замещения производственных факторов и неограниченная компенсация недостатка одних факторов другими) часто вступает в противоречие со свойствами моделируемого объекта исследования. В связи с этим в моделировании используется обобщённая производственная функция с постоянной эластичностью замещения производственных факторов, которая получила название производственной функции с постоянной эластичностью замещения факторов (функция ПЭЗ), или производственная функция CES (от англ. Constant Elasticity of Substitution). Такая производственная функция характеризуется показателем эластичности замещения производственных факторов, не равным единице. Впервые производственная функция CES была введена К. Эрроу и Р. Соллоу в 1961 году1.

Производственная функция CES имеет следующий вид:

Вкратце отметим, что A есть параметр масштаба, обозначающий эффективность технологии; β1 – означает степень капиталоёмкости технологии и определяется в интервале 0< β1<1; > 0 – представляет степень однородности производственной функции или отдачу на масштаб производства; -1.

Производственная функция CES удовлетворяет всем четырём свойствам

(1.1) – (1.4).

1 Экономико-математическое моделирование : учебник для студентов вузов / под общ. ред. И. Н. Дрогобыцкого. М. : Экзамен, 2004. С. 618 – 667.

35

Рассмотрим вопрос о замещении факторов. Предельная норма замещения со-

гласно (1.17) имеет вид:

Таким образом, предельная норма замещения производственных факторов зави-

сит от отношения факторов, причём так же, как и в случае степенных производ-

ственных функций, изоклинали являются прямыми, а при пропорциональном увели-

чении количеств обоих факторов предельная норма замещения не изменяется.

Можно показать, что для производственной функции CES эластичность за-

мещения труда капиталом имеет вид:

Таким образом, хотя производственная функция CES по-прежнему имеет по-

стоянную эластичность замещения производственных факторов, эта эластич-

ность замещения, в отличие от степенных производственных функций, не равна единице и меняется при изменении параметра от единицы (при = 0) до нуля

(при → +∞). Эластичность замещения труда капиталом LK – это мера «кри-

визны» изоквант (линий уровня) производственной функции. Точнее, «кривиз-

ну» измеряет величина 1 .

Обратим внимание на тот факт, что при → 0 все характеристики производ-

ственной функции CES (имеются в виду EK, EL, hLK, ) стремятся к соответству-

ющим характеристикам степенной производственной функции.

Производственная функция CES при = 1 и → -1 стремится к линейной производственной функции (1.20):

Y=A*+a·K+b·L.

36

Линейная производственная функция имеет нулевую «кривизну» и соответственно бесконечную эластичность замещения LK1.

Заканчивая рассмотрение производственных функций, отметим, что степенные производственной функции используются чаще производственных функций CES, поскольку параметры степенных производственных функций оценить значительно легче и работать со степенными функциями проще. А неправдоподобность поведения степенных производственный функций в области малых количеств факторов не так уж важна, поскольку в исследованиях представляют интерес значения факторов, достаточно близкие к уже использующимся в производстве в данный момент2.

1.4. Методы соизмерения характеристик статических производственных функций

Несовершенство традиционных методов выбора и оценивания производственных функций сдерживает их широкое применение в экономических исследованиях. В зависимости от выбранного вида производственной функции будут получены различные числовые характеристики одного и того же экономического процесса. Так, у линейной производственной функции, как показано ранее, предельная эффективность постоянная, эластичность выпуска переменная, а эластичность замещения производственных факторов равна бесконечности. В случае же степенной производственной функции эти характеристики соответственно являются переменной, постоянной и равной единице. Что касается средних эффективностей факторов, то они совпадают для всех видов производственных функций. Всё сказанное справедливо для производственных функций с постоянными параметрами.

В действительности все перечисленные числовые характеристики в результате влияния технического прогресса и неучтённых факторов являются переменными. Поэтому переменными будут и все оцениваемые параметры в производственных функциях. Поскольку производственные функции описывают один экономический процесс, соответствующие характеристики этих производственных функций должны совпадать, независимо от вида производственных функций. Для сравнения характеристик статических производственных функций приведём разработанные автором методы преобразования производственных функций.

Параметры в традиционных линейной производственной функции (1.20):

1Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике : учебник. М. : МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997. С. 157 – 173.

2 Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. М. : Наука, 1984. С. 67 –96.

37