Документ: E861~1, страницы 11-15 | База учебных материалов

2.1) При уменьшении постоянной времени обратной связи Tр1 происходит увеличение σmax % и уменьшению t р (т.е. увеличение быстродействия )

2.2) При увеличении Tр1 также происходит увеличение σmax % , но в большей степени по отношению к оптимальной настройке, однако происходит увеличение t р (т.е. снижение быстродействия).

Теперь можно сделать вывод, что любое отклонение от оптимальной настройки (т.е. изменение либо постоянной времени Tр , либо постоянной времени обратной связи Tр1 ) приводит либо к увеличению

перерегулирования σmax % , либо увеличению времени переходного процесса t p (снижению быстродействия).

Поэтому напрашивается вывод о том, что оптимальные настройки являются наиболее благоприятными для переходного процесса и облегчают процесс регулирования объектом.

2.5.Построение логарифмических частотных характеристик

внутреннего контура САР

По данным кривых переходных процессов могут быть определены показатели качества САР.

Для этой цели могут быть также использованы также логарифмические амплитудная L(ω) и фазовая ϕ(ω) частотные характеристики САР, построенные на основе передаточных функций разомкнутой и замкнутой

систем для указанных вариантов изменения параметров регулятора. Например, разомкнутых САР при изменении Tр имеют вид:

Wраз.1

( р) =

1

;

Wраз.2

( р) =

1

;

2 Тµ (Т

µ +1)

Т

µ (Т

µ +1)

Wраз.1

( р) =

1

.

4

Тµ (Тµ +1)

Теперь приведём построенные на основе этих функций соответствующие ЛАЧХ ϕ(ω) представленные на рис. 7.

передаточные функции

(12)

L(ω) и ЛФЧХ

Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой САР также проводим для трех вариантов настройки системы при различных значениях Tp .

ЛАЧХ записывается в виде следующего выражения:

L(ω)= 20lg K − 20lgω − 20lg
L(ω)= 20lg K − 20lgω − 20lg	1 +T 2ω2	(13)

1.	Tр = 2,4

	L(ω)= 20		1		1+(2 Tµ )2 ω2 = 28 −20 lgω −20 lg 1+0,042 ω2.
		lg	1	−20 lgω −20lg
		lg		−20 lgω −20lg

			2Tµ
2.	Тр =1,2

L(ω)= 20 lg T1µ − 20 lgω − 20 lg 1+Tµ2 ω2 = 34 − 20 lgω − 20 lg 1+ 0,022 ω2 .

3.Тр = 4,8

L(ω)= 20		1

	lg			− 20 lgω − 20 lg 1+ (4 Tµ )2	ω2	= 22 − 20 lgω − 20 lg 1+ 0,082 ω2 .
	lg	4T		− 20 lgω − 20 lg 1+ (4 Tµ )2	ω2	= 22 − 20 lgω − 20 lg 1+ 0,082 ω2 .
		4T
			µ

Для построения асимптотических ЛАЧХ можно воспользоваться упрощенным методом. Суть метода заключается в следующем. При частоте ω =1 c−1 откладываем в выбранном масштабе ординату 20lg K. Через

11

полученную точку откладываем низкочастотную часть ЛАЧХ под наклоном −20 дБдек до частоты сопряжения ω =1Тµ . Затем под наклоном −40 дБдек проводим высокочастотную часть ЛАЧХ. В результате построения получим логарифмические частотные характеристики внутреннего контура при изменении постоянной времени регулятора Tp , смещенные друг относительно друга на некоторую величину, зависящую от коэффициента усиления (т.е. от постоянной времени Тр ).

ЛФЧХ зависит от постоянной времени Tµ и записывается по виду передаточной функции (14)

следующим образ

				ϕ(ω)= −90°− arctg(Tµ ω)= −90°− arctg(0,02 ω).							(14)
Следовательно, ЛАЧХ не зависит от постоянной времени Tр								и при ее изменении остается прежней.
Результаты расчета ЛФЧХ приведены в таблице 2.
Таблица № 2 – Зависимость фазы от частоты

	ω	2	3	4	7	10	50		70	101	200
	ϕ(ω)	-92	-93,4	-94,6	-98	-101	-135		-144	-153	-166

Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутого внутреннего контура регулирования при трех значениях Tp представлены на рисунке 7.

Определение запаса устойчивости по фазе

Запас устойчивости по фазе определяется, исходя из следующего выражения:

µ =180°−

ϕ(ωс )

.

(15)

Частоты среза логарифмических характеристик и запас устойчивости:

1.

ωc1 =

1

= 25 с−1 ,

µ2 =180 −ϕ(25)= 52°;

2Tµ

2.

ωc 2 =

1

= 50 с−1 ,

µ1 =180 −ϕ(50)= 65°;

Tµ

3.

ωc3 =

1

=12,5 с−1 ,

µ3 =180 −ϕ(12,5)= 76°.

4Tµ

12

ϕ(ω) L(ω)

- 20 Дб/декL	(ω)	1	1		1
2		4 Tμ		2 T		T
				μ		μ

		ωC2	log(ω)
L1(ω)	ωC3	ωC1	ω
L1(ω)
			- 40 Дб/дек
			L3(ω)

log(ω)

ω

µ3 µ1 µ2

Рис. 7 ЛАЧХ и ЛФЧХ внутреннего контура при изменении Tр

Данные для построение выше расположенной кривой приведены в следующей таблице Таблица № 3

ω	2	3	4	5	6	12,5	20	25	30	50	80	200
L1(ω)	22	18,5	16	14	12	5,8	1,3	0	-2,8	-9	-5,6	-30
L2 (ω)	28	24,5	22	20	18,5	11,8	7,3	5	3,1	0	-9,7	-24,5
L3 (ω)	16	12,5	10	8	6,36	0	-4,75	-7	-8,7	-15	-21,7	-36,4

Аналогично получим передаточные функции и построим ЛФЧХ и ЛАЧХ при изменении постоянной времени обратной связи Tр1 .

После получения передаточной функции разомкнутой САР можно записать выражение для расчета

ЛАЧХ.

L(ω)= 20lg

1

− 20lgω − 20lg

T 2

ω2 +1 + 20lg

T 2

ω2 +1 − 20lg

T 2

ω2

+1.

2Tµ

01

p

µ

i

1.Tp2 = 0,5 T01 = 0,04c

L(ω)= 20 lg 25 − 20 lgω − 20 lg 0,082 ω2 +1 + 20 lg 0,042 ω2 +1 − 20 lg 0,022 ω2 +1.

Построение ЛФЧХ производится в соответствии с выражением:

ϕ(ω)= −90 − arctg(Tµ ω)= −90 − arctg(0.025 ω);

Вэтом случае характеристика имеет одну частоту сопряжения, равную

ωc =	1	=	1	= 40c−1.
			0.025
	Tµ

2. Tp2 = 0,5 T01 = 0,02c

13

L(ω)= 20 lg 20 − 20 lgω − 20 lg 0,082 ω2 +1 + 20 lg 0,022 ω2 +1 − 20 lg 0,022 ω2 +1.

Построение ЛФЧХ производится в соответствии с выражением:

ϕ(ω)= −90 − arctg(Tµ ω)− arctg(T01 ω)+ arctg(0,5 T01 ω)=

=−90 − arctg(0,02 ω)− arctg(0,08 ω) + arctg(0,04 ω).

Вэтом случае имеем три частоты сопряжения:

ωc1 = T1 = 1 =12,5 c−1;

010,08

ωc2 = 0,51T01 = 0,104 = 25 c−1;

ωc3 =	1	=	1	= 50 c−1.
			0,02
	Tµ

3.Tp3 = 2 T01 = 0,16 c

L(ω)= 20 lg 20 − 20 lgω − 20 lg 0,082 ω2 +1 + 20 lg 0,162 ω2 +1 − 20 lg 0,022 ω2 +1.

Построение ЛФЧХ производится в соответствии с выражением:

ϕ(ω)= −90 − arctg(Tµ ω)− arctg(T01 ω)+ arctg(2 T01 ω)=

=−90 − arctg(0.025 ω)− arctg(0.125 ω) + arctg(0.25 ω).

Вэтом случае также имеем три частоты сопряжения:

ωc1 = T1 = 1 =12,5 c−1;

010,08

ωc2 = 0,51T01 = 0,104 = 25 c−1;

				ωc3 =		1	=	1	= 50 c−1.
				ωc3 =			=	0,02	= 50 c−1.
					Tµ			0,02
Результаты расчета ЛФЧХ для трех случаев сведены в таблицу 4.
Таблица № 4 Результаты расчета ЛФЧХ

ω	1	5	10	15				50		100	150	200	1000
ϕ1(ω)	-91	-95,7	-101	-107				-135		-154	-161	-166	-177
ϕ2 (ω)	-86,6	-79	-82,2	-90				-128		-150	-160	-164	-178.2
ϕ3 (ω)	-93,5	-106	-118	-126				-148		-160	-166	-170	-177.5

Соответствующие логарифмические частотные характеристики представлены на рисунке 9.

Показатели качества соответственно равны µ1 = 54°; µ1 = 66°; µ1 = 60°.

14

ϕ(ω) L(ω)

1		1	1
4 Тµ		2 Тµ		1 Тµ

ωС2 ωС3	log(ω)
ωС1	ω
	L3(ω)
L2(ω)	L1(ω)
	L1(ω)
	log(ω)
	ω

3

1

2

µ2 µ1 µ3

Рис. 8 ЛАЧХ и ЛФЧХ внутреннего контура при изменении Tр1

Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ для замкнутой САР также проводим для трех вариантов настройки системы при различных значениях Tp .

1.Tр = 2,4

Замкнутая САР – колебательное звено с оптимальным коэффициентом затухания.

L(ω) = −20lg

(1−T 2 ω2 )2 + 4ξ 2 T 2 ω2 = −20lg (1− 0,0008 ω2 )2 + 0,0016ω2

ϕ(ω) = −arctg(

2 ξ ω T

) = −arctg(

0,04 ω

)

1−T 2ω2

1 − 0,0008

ω2

2.

Тр =1,2

L(ω) = −20lg (1 −T 2ω2 )2 + 4ξ 2T 2ω2 = −20lg

(1 − 0,0004 ω2 )2 + 0,0004 ω2

ϕ(ω) = −arctg(

2ξωT

) = −arctg(

0,02ω

)

1 −T 2ω2

1−

0,0004 ω2

3.

Тр = 4,8

L(ω) = −20lg

(1 −T 2ω2 )2 + 4ξ 2T 2ω2 = −20lg

(1 − 0,0016 ω2 )2 + 0,0064ω2

ϕ(ω) = −arctg(

2ξωT

)

= −arctg(

0,08ω

)

1 −T 2ω2

1− 0,0016 ω2

После получения передаточной функции замкнутой САР можно записать выражение для расчета

ЛАЧХ.

15

Материал: E861~1

Смотрите также: