Документ: E861~1, страницы 16-20 | База учебных материалов

L(ω) = −20lg (1 −T 2ω2 )2 + 4ξ2T 2ω2

ϕ(ω) = −arctg( 2ξω2T 2 ) 1−T ω

L(ω),ϕ(ω)

logω,ω

L1(ω)

L2 (ω)

L3 (ω)

ϕ1(ω)

ϕ2 (ω)

ϕ3 (ω)

logω,ω

Рис. 9 ЛАЧХ и ЛФЧХ внутреннего замкнутого контура САР при изменении параметра Тр регулятора

3. Расчёт и исследование двухконтурной статической САР с последовательной коррекцией

3.1. Расчёт регулятора внешнего контура САР. Составление

структурной схемы двухконтурной САР

Внешней замкнутый контур САР может быть представлен следующей структурной схемой (рис. 10)

+

F(р)

g = yз.2	+	Wрег.2(р)	y1	1	y2
		Wрег.2(р)	Wз.2(р)	То2	р
				То2	р

K2

Рис. 10 Структурная схема внешнего контура регулирования САР

Передаточная функция регулятора внешнего контура выглядит следующим образом

16

Wрег.2(р)=

1

К1

=

1

То2

р

=

То2

;

(16)

2i Т

р

W

К2

4

Тµ р

1

4 Тµ

µ

( р)

o2

где W

( р) =

1

− передаточная функция той части объекта регулирования, которая компенсируется

o2

То2

р

регулятором контура

К1 = К2 =1 − коэффициенты обратных связей контуров (при единичной обратной связи)

Теперь подставляя параметры соответствующие варианту получаем следующий вид функции

Wрег.2(р)=	То2		=	0,22		= 2,75;
	4	Тµ		4	0,02

Следовательно регулятор имеет пропорциональную характеристику (т.е. передаточная функция имеет вид пропорционального звена).

На двухконтурную САР оказывают влияние следующие виды внешних воздействий:

1)Задающее воздействие g = yз2;

2)Возмущающее воздействие F .

Поэтому при исследовании двухконтурной САР необходимо определить её реакцию на эти воздействия:

а) реакция САР на управляющее воздействие:

1)хвх = g = yз2(t), хвых = y1(t) для выходной координаты y1 внутреннего контура;

2)хвх = g = yз2(t), хвых = y2 (t) - выходная координата внешнего контура.

б) реакция САР на управляющее воздействие:

1)хвх = F(t), хвых = y1(t);

2)хвх = F(t), хвых = y2 (t).

Для определения динамических и статических показателей двухконтурной САР необходимо для каждого случая получить передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР. Показатели качества САР могут быть найдены частотными методами по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых и замкнутых САР, а также более точно – по кривым переходных процессов, полученных по методу структурного моделирования на ЭВМ.

3.2. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР по

управляющему и возмущающему воздействиям для выходной координаты внешнего и внутреннего контуров

Для начала рассмотрим передаточные функции внешнего замкнутого контура регулирования по управляющему воздействию для выходных координат внутреннего и внешнего контуров регулирования.

4. Для выходной координаты y2

Передаточная функция внешнего разомкнутого и замкнутого контуров для координаты y2 :

17

W

(р)=W

(р) W

(р)

1

=

То2 р

раз.2

рег.2

з.1

=

То2

1

=

(17)

4 Тµ

2 Тµ2

р2 + 2 Тµ р +1

То2 р

=

1

;

4 Тµ р (2 Тµ р(Тµ р +1) +1)

Где Wз.1( р) - передаточная функция внутреннего контура (14), т.е. этот контур является колебательным звеном;

Wз.2( р) =

y2 ( р)

=

1

=

yз2( р)

4 Тµ р (2 Тµ р(Тµ р

+1) +1)

+1

(18)

1

=

.

8 Тµ3 р3 +8 Тµ2 р2

q3( р)

+ 4

Тµ р+1

Выражения (14) и (15) показывают, что внешний замкнутый контуру по отношению к выходной координате имеет оптимальные передаточные функции системы третьего порядка (по управляющему воздействию).

Переходная функция системы, полученной на основании обратного преобразования Лапласа, будет определена выражением:

h

(t) =1

−e−t / 2 Тµ

−

2

e−t / 4 Тµ

sin(

3

t

);

(19)

3

4 Тµ

или в относительных координатах h (t) =1−e2τ −

2

e−τ sin(

τ)

3

где τ =

t

− относительное время переходного процесса

2i−1 T

µ

В данном случае i = 2;n = 3

Характеристическое уравнение

q

3

( p) = 8 Тµ3

р3 +8

Тµ2 р2

+ 4 Тµ р +1 = 0 ;

(20)

Корни характеристического уравнения

1

.

p

=

= −

; p

= −

± j

3

(21)

2 Tµ

4 Tµ

1

2n−1

Tµ

1,2

4 Tµ

h(t)

σ = 8,14%

t1 = 7,6Tµ

t1 tm

t

18

Рис. 11 Кривая переходного процесса в оптимальной системе третьего порядка

Данные, по которым построен выше продемонстрированный график, представлены в таблице 2 Таблица № 5

h(t)	0,2	0,65	0,82	1	1,0814		1,044	1,0363	1	0,985	1	1
t	0,05	0,1	0,12	0,152	0,196		0,24	0,25	0,29	0,34	0,435	0,5
Переходная функция характеризуется следующими показателями
a.	Перерегулирование σmax % =			ymax − yуст		100% =	1,0814 −1	= 8,14%;
a.	Перерегулирование σmax % =			yуст		100% =	1	= 8,14%;
				yуст			1
b.	Время первого достижения установившегося значения t1 = 7,6 Tμ = 7,6 0,02 = 0,152 .

c.Время первого достижения максимального значения tm = 9,8 Tμ = 9,8 0,02 = 0,196 .

d.Время переходного процесса (вхождения в 2-х процентную зону) t p ≈ 2 8,4 Tμ ≈ 0,435

Графическое изображение переходной функции системы третьего порядка представлено на рис. 11. Можно сказать, что для систем четвёртого и более порядков величины перерегулирование практически изменяется незначительно и составляет величину, равную σmax % = 8,1% (рис. 11). Однако время регулирования

при повышении порядка на единицу возрастает приблизительно в 2 раза, соответственно быстродействие уменьшается в 2 раза

Управление переходной функции, полученным на основании обратного преобразования Лапласа: для этой оптимальной системы запишется:


y	2	(t) = y	з2	h (t) = y	з2	(1	−e−t / 2 Тµ	−	2	e−t / 4 Тµ sin(		3	t	)).	(22)
y		(t) = y		h (t) = y		(1	−e−t / 2 Тµ	−		e−t / 4 Тµ sin(				)).	(22)
				3				3			4 Тµ
								3			4 Тµ

Кривая переходного процесса, построенная по выражения (19) имеет вид как на рис. 12. В рассмотренном случае внутренний замкнутый контур представлен колебательным звеном с передаточной функцией (20)

Wзам( р) =	1		=	1		=
	2 Тµ р (Тµ р +1) +1			2 Тµ2 р2 + 2
					Тµ р +1
				1	(23)
	=				;
		Т2 р2 + 2 ε Т р +1

Однако, учитывая, что Тµ является малой некомпенсируемой постоянной времени и Тµ < 1, первым слагаемымв знаменателе можно пренебречь,т.к. 2Тµ2 << 1 .

В этой связи передаточная функция внутреннего замкнутого контура может быть представлена передаточной функцией апериодического звена первого порядка, следовательно, получаем следующее выражение

Wз.1(	р) =				1	1	=	1	,	(24)
		2	р	2	+ 2 Тµ р +1	2 Тµ р +1		′
	2	Тµ						Тµ р +1

Где Тµ′ = 2 Тµ − наименьшая некомпенсируемая постоянная времени внешнего контура.

Такая аппроксимация позволяет представить передаточную функцию внешнего замкнутого контура в виде

Wз.2( р) =

y

2 ( p)

=

1

=

1

;

(25)

y

( p)

4 Тµ р(2 Тµ р+1)

′2

р

2

′

з.2

+1 2

+2

Тµ

Тµ р+1

19

Т.е. внешний замкнутый контур при в этом случае представляется колебательным звеном (второго порядка). Переходная функция внешнего контура в этом случае y2y ( p) = h2 (t) рассчитывается по тому же

выражению (194), что и для внутреннего контура представлена на рис. 12 Следовательно, при аппроксимации (упрощении) порядок системы снижается. При этом снижается

перерегулирование σ = 4,3% .

5. Для выходной координаты y1

Передаточная функция по управляющему воздействию для выходной координате внутреннего контура. Передаточная функция имеет следующий вид

y ( p)

W рег.2( р) Wз.1( р)

Wз.2( р) =

1

=

;

y

з.2

( p)

1 +W

рег.2

( р) W

з.1

( р)W

2

( р)

о

или

Wз.2( р) =

To2 ( p)

=

To2 ( p)

=

To2 ( p)

;

4 T µ p (2 Тµ (Тµ р+1) +1)

8 Тµ3 р3 +

8

Тµ2 р2 + 4 Т

µ р

+1

q3 (t)

Аппроксимируя выражение

Wз.1( р) =

1

2 Тµ2 р2 +2 Тµ р+1

2 Тµ р+1

Получим

y1y

( p)

T

( p)

1

T

( p)

Wз.2( р) =

=

o2

=

o2

.

y

( p)

′2

′

′2

2

′

(t)

з.2

4

+ 4

Т

р

+ 2

р+1

q

2

Тµ

µ

р+1 2 Тµ

Тµ

Переходные характеристики могут быть найдены следующим образом. Из выражения следует, что y2 (t) = yз.2 h3 (t).

В то же время y1( p) = y2 ( p) T02 p. Отсюда можно записать

y1( p) = y2′ (t) T02 ,

y1(t) = yз.2 h3′(t) T02.

Следовательно, выходная координата y1 является производной от y2

y

=

Tо2

(e−t 2 Tµ +

1

e−t 4 Tµ (sin(

3

t

) −

cos(

3

t

))).

3

1

2Tµ

3

4 Tµ

Для упрощения САР при аппроксимации внутреннего контура имеем: y1y (t) = yз.2 T02 h2′ (t),

где

h (t) =1-

e−t 4 Tµ

sin(

t

+ π ).

2

4 Tµ

4

Таким образом

y

(t) =

T

о2

e−t 2 Tµ′ (sin(

1

+ π ) − cos(

1

+ π )).

1y

2 Tµ

2 Tµ′

4

2 Tµ′

4

Кривые переходных процессов при управляющем воздействии для y1 и y2 представлены на рис. 12

(26)

(27)

(28)

(29)

20

Материал: E861~1

3. Расчёт и исследование двухконтурной статической САР с последовательной коррекцией

Смотрите также: