Материал: Kratn_2

Отметим, что если кривая l задана геометрически, то уравнения (3.2) не заданы и их нахождение является задачей, предшествующей задаче вычисления криволинейного интеграла.

При выбранной параметризации справедливо равенство

(1)

для непрерывной функции f(P ) и гладкой кривой l.

Z

Пример 3.1. Вычислить интеграл (x + y)2dl по ломаной с верши-

l

нами (1; 1), (2; 3), (2; 6).

Здесь удобно применить теорему об аддитивности. Сперва найдем интеграл по отрезку с концами (1; 1) и (2; 3). Удобно рассмотреть параметри-

l

35

Z

Пример 3.2. Найти интеграл (x2 + y2) dl, где l – окружность ради-

l

уса 3 с центром в начале координат.

(

В этом примере рассмотрим параметризацию окружности x = 3 cos t, y = 3 sin t,

где t меняется от 0 до 2π. Имеем:

В случае криволинейной системы координат формула несколько изменяется. Пусть (ρ, ϕ) – полярные координаты и уравнения l имеют вид:

(

ρ = ρ(τ); τ hτ(1), τ(2)i . ϕ = ϕ(τ);

Тогда

τ(2)

ZZ

36

=17 57 − 17 15 55 + 72 13 53 − 17 37 + 17 15 35 − 72 13 33 = 1833 1735.

Вслучае функции трех переменных f(P ) и кусочно-гладкой кривой l, заданной на IR3, криволинейный интеграл имеет аналогичные определение

исвойства.

Формула для вычисления интеграла имеет вид

ZZ

t(2)

Z

p

= f(x(t), y(t), z(t)) (x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2 dt,

t(1)

x(t)

где кривая имеет параметризацию r¯(t) = y(t) при t t(1), t(2) . z(t)

Z

Пример 3.4. Вычислить интеграл (xy2 + z)dl, где кривая l имеет

37

Упражнения.

Z

p

3.1. Вычислить интеграл x2 + y2 dl, где l задана параметризацией

l

(

x = t cos t,

при t [0; π].

y = t sin t

Z

3.2. Вычислить интеграл x2y2 dl, где l – окружность радиуса 2 с

l

шинами (0; 0), (3; 0), (3; 2), (0; 2).

Z

3.5. Вычислить интеграл ρ dl, где кривая l задана параметризацией

l

(

ρ = 1 + t,

в полярной системе координат при t [0; 1].

ϕ = t

Z

3.6. Вычислить интеграл ρ3 dl, где кривая l задана параметризацией

l

(

в полярной системе кординат ρ = t, при t [0; √4 2].

ϕ = t2

Z

3.7. Вычислить интеграл (x2 + y2)z dl, где кривая l задана парамет-

l

x = cos t,

ризацией y = sin t, при t [0; 2π].

z = t

Z

3.8. Вычислить интеграл (x + y + z)dl, где l – ломаная с вершинами

l

38

3.2. Криволинейный интеграл второго рода

Напомним определение. Пусть задана кривая l и векторная функция

~

f(P ). На кривой l выберем одно из двух возможных направлений, другими словами, выберем одну из двух точек A и B, являющихся концами l, а именно точку A, в качестве начала l, а другую (точку B) – в качестве конца l. Кривую l с выбранным на ней направлением будем называть ориентированной кривой и обозначим l+, а ту же кривую с противоположным

направлением обозначим l−. Введем такое разбиение {Pi} ориентированной кривой l+, что P0 = A, Pn = B и Pi li−1 для i = 1, 2, ..., n − 1, где li−1 – часть кривой l с началом в точке Pi−1 и концом в точке Pi. Такое

разбиение будем называть согласованным с направлением на l+. Рангом

разбиения {Pi} назовем число λ = max li. Рассмотрим сумму

1≤i≤n

для криволинейного интеграла второго рода.

Определение 3.2. Число I называется криволинейным интегралом

~

функции f(P ) по кривой l+, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого согласованного с направлением на l+ разбиения {Pi}, для которого λ < δ, и любого выбора точек Pi выполнено неравенство

Замечание 3.2.. С физической точки зрения такое определение криволинейного интеграла второго рода соответствует задаче вычисления ра-

~

боты силы f(P ) при перемещении по кривой l+.

Ясно, что для кривой l− согласованным с ее направлением разбиением будет разбиение {Pi0}, где Pi0 = Pn−i, i = 0, 1, ..., n. Для разбиений {Pi} кривой l+ и {Pi0} кривой l− соответствующие векторы −→li различаются

39