Документ: Kratn_2, страницы 26-30 | База учебных материалов

(2y − x2y − y3 − x4y − 2x2y3 − y5)dS =

√

ZZZ

Пример 2.2. Вычислить интеграл yz dV , где область Ω ограни-

Ω

чена поверхностями z = x2 + y2 и x2 + y2 + z2 = 2.

Область Ω – правильная относительно плоскости 0xy. Имеем: g1(x, y) =

p

√2 x2

y2

√2−x2−y2

= x2 + y2, g2(x, y) = 2 − x2 − y2

и область Dxy – круг x2

+y2

≤ 1. Отсюда:

yz dz = ZZ

z=

dS =

ZZZ (yz)dV = ZZ dS

2Z

2

x2+y2

Ω

Dxy

x +y

Dxy

yz2

− −

1

ZZ (2y

=

− x2y − y3 − x4y − 2x2y3 − y5)dS.

2

Dxy

Таким образом, задача сведена к вычислению двойного интеграла. Поскольку область Dxy правильная относительно 0x, то двойной интеграл можно переписать через повторный:

1 ZZ

2

Dxy

11−x2

= 2 Z dx

Z

2 (2y − x2y − y3 − x4y − 2x2y3 − y5)dy =

1

−1

√

−

1

−

x

1

√

! dx =

1

1−x2

=

Z

y2 −

x2y2

−

y4 −

x4y2

−

x2y4

−

y6 y=

√

2

4

2

6

1 x2

0

1

−

= 2 Z0

0 dx = 0.

1

Пример 2.3. Вычислить интеграл ZZZ x dV , где область Ω ограни-

Ω

чена поверхностью x =

y2 + z2

и плоскостью x = 1.

Здесь удобнее

рассматривать область Ω как правильную относительно

p

плоскости 0

yz

. Имеем:

1

+

z2

,

g

2(

y, z

) 1

и

g (y, z) = y2

= 1

! dS =

ZZZ

x dV = ZZ

dS

Z

x dx = ZZ

2

x=√y2+z2

Ω

Dyz

√y2+z2

Dyz

x2

25

= ZZ

2

1 − y − z

dS.

2

Dyz

В этом двойном интеграле удобно применить полярную замену пере-

менной:

1 − y2

z2 dS =

2π

1

ρ − ρ3 dρ =

1 − ρ2 ρ dρ dϕ = dϕ

ZZ

−

ZZ

Z

2

Dyz

ρ≤1

0

2π

− 8

2π

8

ϕ 0

=

4 .

= Z 4

ρ=0! dϕ = Z

8 dϕ =

ρ2

ρ4

1

2π

π

0

Упражнения.

2.1. Вычислить интеграл ZZZ xy2z3 dV , где область Ω ограничена

1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 4, 3 ≤ z ≤ 5.

Ω

2.2. Вычислить интеграл ZZZ (x+y+z)dV , где область Ω ограничена

Ω

2 ≤ x + z ≤ 4, 3 ≤ y + z ≤ 5, 4 ≤ x + y ≤ 6.

2.3. Вычислить интеграл ZZZ

1

dV , где область Ω огра-

(x + y + z + 3)2

Ω

ничена x, y, z ≥ 0, x + y + z = 3.

2.4. Вычислить интеграл ZZZ x2y2z dV , где область Ω ограничена

x2 + y2 = z2, z ≥ 0, z ≤ 4.

Ω

ZZZ x2y dV , где

2.5. Вычислить интеграл

область

Ω ограничена

x2 + y2 + z2 = 4, x, y, z ≥ 0.

Ω

2

9

4096π

2π

Ответы: 2.1. 10154

. 2.2. 24. 2.3.

− 3 ln 2. 2.4.

. 2.5.

.

3

4

35

3

2.3. Замена переменной в тройном интеграле

При вычислении тройного интеграла, как и при вычислении двойного, бывает удобно перейти к криволинейным координатам. Пусть в IR3 заданы декартова система координат 0xyz и криволинейные координаты (ξ, η, ζ),

26

связанные соотношениями
				x = x(ξ, η, ζ),
			z = z(ξ, η, ζ),		(2.4)
			y = y(ξ, η, ζ),		(2.4)

а также область	Ω	с	кусочно-гладкой границей. Пусть Ω0		– образ обла-
а также область		с

сти Ω при преобразовании координат (2.4), т. е. область в пространстве с декартовой системой координат 00ξηζ, которая соответствует Ω при преобразовании (2.4). Тогда

ZZZ

f(x, y, z)dx dy dz =

Ω

ZZZ

=f(x(ξ, η, ζ), y(ξ, η, ζ), z(ξ, η, ζ)) |J(ξ, η, ζ)|dξ dη dζ,

Ω0

где J(ξ, η, ζ) – якобиан, вычисляемый по следующей формуле:

	∂x		∂x		∂x

J(ξ, η, ζ) = det		∂ξ		∂η		∂ζ
J(ξ, η, ζ) = det	∂y			∂y	∂y		.


		∂ξ		∂η		∂ζ


		∂z		∂z		∂z

		∂ξ		∂η		∂ζ

ZZZ

Пример 2.4. Вычислить интеграл (x + y + z)2dV , где Ω ограни-

Ω

чена плоскостями x + y = 0, x + y = 1, x + z = 0, x + z = 1, y + z = 0, y + z = 1.

Здесь удобно перейти к новым координатам ξ = x + y, η = x + z,

ζ = y + z, т. е. x =	1	(ξ + η − ζ), y =			1	(ξ + ζ				− η), z =				1	(η + ζ − ξ).

	2				2									2
Имеем:
				1			1	−	1

				2			2		2


J(ξ, η, ζ) = det				1	−		1		1		= −	4	= −			1	,
J(ξ, η, ζ) = det				2	−		2		2		= −	8	= −			2	,

				1			1		1

			−	2			2		2

27

													1									2	1
ZZZ (x + y + z)2dx dy dz = ZZZ																(ξ + η + ζ)								dξ dη dζ,
ZZZ (x + y + z)2dx dy dz = ZZZ														2		(ξ + η + ζ)							2	dξ dη dζ,
Ω												Ω0
где область Ω0		– ограничена ξ = 0, ξ = 1, η = 0, η = 1, ζ = 0, ζ = 1. Тогда
ZZZ												1					1		1
ZZZ	8(ξ + η + ζ)2dξ dη dζ = 8 Z dξ Z																	dη Z (ξ + η + ζ)2dζ =
	1											1
Ω0												0				0			0
								1		1	3(ξ + η + ζ)3 ζ=0! dη =
				= 8 Z dξ Z							3(ξ + η + ζ)3 ζ=0! dη =
						1					1							1
							0			0

							1			1
			= 24 Z dξ Z (ξ + η + 1)3 − (ξ + η)3 dη =
		1
							0			0
		1
	= 24 Z 4(ξ + η + 1)4 − 4(ξ + η)4 η=0! dξ =
		1						1				1									1
		0

								1
				= 96 Z						(ξ + 2)4 − 2(ξ + 1)4 + ξ4 dξ =
						1
							0
		= 96					5(ξ + 2)5 − 5(ξ + 1)5														1
		= 96					5(ξ + 2)5 − 5(ξ + 1)5										+ 5 ξ5 ξ=0 =
		1					1					2							1
		1				5				5		5									150		5
	=				(3		−	2	·	2 + 1	−	2 + 2	·		1		−		0) =			=			.
	=				(3			2		2 + 1		2 + 2			1				0) =		480	=			.
		480																			480		16
Пример 2.5. Вычислить интеграл ZZZ																	p							dV , где Ω – шар
Пример 2.5. Вычислить интеграл ZZZ																	p			x2 + y2 + z2				dV , где Ω – шар

Ω

радиуса 2 с центром в начале координат.

В этом случае удобно сделать сферическую замену координат x = ρ cos ϕ sin θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = ρ cos θ. Тогда

J(ρ, ϕ, θ) = det

sin ϕ sin θ

ρ cos ϕ sin θ

ρ sin ϕ cos θ

=

ρ

sin θ,

cos ϕ sin θ

−ρ sin ϕ sin θ

ρ cos ϕ cos θ

2

cos θ

0

−ρ sin θ

−

ZZZ

dV = ZZZ ρ · ρ2 sin θ dρ dϕ dθ,

x2

+ y2 + z2

Ω

p

Ω0

28

где Ω0 – параллелепипед {(ρ, ϕ, θ) | 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π}. Имеем:

ZZZ		2	2π		π
ZZZ	ρ3 sin θ dρ dϕ dθ = Z		dρ Z	dϕ Z	ρ3 sin θ dθ =
Ω0		0	0	0
2	2π	π		2	2π
= Z		π			dρ Z
= Z	dρ Z (−ρ3 cos θ) θ=0 dϕ = Z				dρ Z	2ρ3dϕ =
0	0			0	0

	2		2
	= Z	4πρ3dρ = πρ4 ρ=0 = 16π.
	0

ZZZ

p

Пример 2.6. Вычислить интеграл z x2 + y2 + z2dV , где об-

Ω

ласть Ω ограничена цилиндром x2 + y2 = 4 и плоскостями z = 0 и z = 5. Здесь удобно сделать цилиндрическую замену координат x = ρ cos ϕ,

y = ρ sin ϕ, z = z. Тогда

	J(ρ, ϕ, z) = det					sin ϕ	ρ cos ϕ		0	= ρ,
						cos ϕ	−ρ sin ϕ		0

						0	0		1
ZZZ z					dx dy dz = ZZZ z						ρ dρ dϕ dz,
ZZZ z		x2	+ y2	+ z2	dx dy dz = ZZZ z			p	ρ2 + z2		ρ dρ dϕ dz,
Ω	p						Ω0	p

где Ω0 – параллелепипед {(z, ρ, ϕ) | 0 ≤ z ≤ 5, 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π)}. Имеем:

5

2 2π

ZZZ

dρ dϕ dz = Z

dz Z

dρ Z

zρ

ρ2

+ z2

zρ

ρ2

+ z2

dϕ =

Ω0

p

0

p

5

2

5

z 3(ρ2 + z2)3/2 ρ=0! dz =

= 2π Z dz Z zρ ρ2 + z2dρ = 2π Z

1

2

0

p

0

=

23

5

(z(z2 + 4)3/2 − z4)dz = 23

5

Z

(z2 + 4)5/2 − 5 z5 z=0 =

π

1

0

295/2 − 55 − 25 =

1682√

2π

29

6314

=

−

π.

15

29

Материал: Kratn_2

Смотрите также: