Материал: Kratn_2

ZZZ

Пример 2.7. Вычислить интеграл (x2 + y2 + z2)dV , где область

Ω

Ωограничена сферой x2 + y2 + z2 = 2z.

Вэтом примере можно сделать различные замены.

1-й способ. Сделаем сферическую замену:

ZZZ ZZZ

(x2 + y2 + z2)dx dy dz = ρ2ρ2 sin θ dρ dϕ dθ,

2-й способ. Сделаем замену x = ρ cos ϕ sin θ, y = ρ sin ϕ sin θ, z = 1+ +ρ cos θ, которая получается сдвигом сферической замены на 1 вверх по

+ ρ2 sin2 ϕ sin2 θ + 1 + 2ρ cos θ + ρ2 cos2 θ)ρ2 sin θ dρ dϕ dθ =

ZZZ

=(ρ2 + 2ρ cos θ + 1)ρ2 sin θ dρ dϕ dθ,

Ω00

30

где Ω00 – параллелепипед {(ρ, ϕ, θ) | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π}.

Имеем:

ZZZ

(ρ2 + 2ρ cos θ + 1)ρ2 sin θ dρ dϕ dθ =

00

2π π

00

√

где Ω000 – область {(ρ, ϕ, z) | 0 ≤ ρ ≤ 2z − z2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ 2}. Тогда

31

Таким образом, этот пример демонстрирует, что к вычислению интеграла можно применить различные замены, что сказывается на технических трудностях дальнейших вычислений. Можно применить замену, упрощающую вид подынтегральной функции, а можно упрощать область интегрирования. В каждом интеграле это решается индивидуально.

Упражнения.

ZZZ

2.6. Вычислить интеграл xy dV , где область Ω ограничена

Ω

2 ≤ x + y ≤ 3, 3 ≤ y + z ≤ 4, 4 ≤ x + z ≤ 5.

ZZZ

2.7. Вычислить интеграл (x2 + y2) dV , где область Ω ограничена

32

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Криволинейный интеграл первого рода

Напомним определение криволинейного интеграла первого рода. Рассмотрим случай функций двух переменных. Пусть на плоскости

IR2 заданы кусочно-гладкая кривая l и скалярная функция f(P ), определенная во всех точках кривой l. Обозначим A и B точки, являющиеся концами кривой l. Пусть Pi l, i = 0, 1, ..., n – точки на кривой l; P0 = A, Pn = B. Точки Pi задают разбиение кривой l на части li (i = 1, 2, ..., n) с концами Pi−1 и Pi. Каждая кривая li имеет длину, которую обозначим li. На кривых li выберем (произвольно) точки Pi li и вычислим сумму

n

X

f(Pi )Δli,

i=1

называемую интегральной суммой для функции f(P ), кривой l, заданного разбиения {Pi} и заданного выбора точек Pi . Назовем рангом разбиения

число λ = max li.

1≤i≤n

Определение 3.1. Число I называется криволинейным интегралом первого рода функции f(P ) по кривой l, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого разбиения {Pi}, удовлетворяющего условию λ < δ, и любого выбора точек Pi справедливо неравенство

Функция f(P ) называется в этом случае интегрируемой по l. Для криволинейного интеграла используется обозначение

Z

I = f(P ) dl.

l

Замечание 3.1. Физический смысл криволинейного интеграла первого рода состоит в том, что этот интеграл дает, например, решение задачи о вычислении массы (или заряда), распределенной вдоль кривой l с плотностью f(P ).

Отметим 2 свойства криволинейного интеграла, которые применяются при его вычислении. Во-первых, аддитивность криволинейного интеграла.

Теорема 3.1. Пусть кусочно-гладкая кривая l разбита на две части l1 и l2, l = l1 l2, имеющие лишь одну общую точку, и функция f(P )

33

интегрируема по l. Тогда f(P ) интегрируема по l1 и l2 и

Наоборот, если в этом случае f(P ) интегрируема по l1 и l2, то f(P ) интегрируема по l, и также справедливо равенство (3.1).

Это свойство позволяет при необходимости разбивать кривую на несколько частей и вычислять несколько интегралов по отдельности. Например, это может быть удобно для параметризации кривой.

Во-вторых, линейность криволинейного интеграла.

Теорема 3.2. Если f1(P ) и f2(P ) интегрируемы по l и f(P ) = = α1f1(P ) + α2f2(P ), α1, α2 IR, то функция f(P ) также интегрируема по l и

Кроме того, отметим, что криволинейный интеграл от 1 равен длине кривой.

Теорема 3.3. Если f(P ) ≡ 1 на l и L – длина кривой l, то

Z

dl = L.

l

Рассмотрим вопрос о вычислении криволинейного интеграла первого рода в том случае, когда кривая l является гладкой кривой, а функция f(P ) непрерывна. Напомним, что кривая l называется гладкой, если множество точек l описывается соотношениями

h i

~r = ~r(t), t t(1), t(2) ,

где ~r(t) – непрерывно дифференцируемая на t(1), t(2) функция и k~r 0(t)k 6=

6= 0.

Пусть на плоскости, где заданы l и f(P ), введена декартова система координат 0xy. Тогда уравнения кривой l имеют вид:

34