Материал: Алгебра. курс лекций часть 4. Майорова С.П., Завгородний М.Г

Контрольные вопросы и задания к п. 2.1-2.2

1.Объясните, что называется оператором, действующим в линейном пространстве.

2.Какой оператор называется линейным? Приведите примеры линейных операторов.

3.Как определяется матрица линейного оператора в данном базисе?

4.Какой вид имеет в любом базисе матрица:

а) нулевого оператора; б) единичного оператора?

A : L → L - линейный оператор. Выясните, как изменится матрица оператора A , если:

а) поменять местами векторы ei и e j ; б) вектор ei умножить на число α ≠ 0 ; в) вектор ei заменить на вектор ei +e j ;

г) перейти к базису en , e1,..., en−1 ?

8. Справедливы ли следующие утверждения:

а) всякий линейный оператор переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую;

б) всякий линейный оператор переводит линейно независимую систему векторов в линейно независимую?

2.3.Кольцо и линейное пространство операторов

Пусть L - линейное пространство, заданное над полем скаляров P . Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из L в L . В этом множестве введем операции сложения операторов и умножения оператора на скаляры из P , превратив тем самым его в линейное пространство. Затем введем еще одну операцию - умножение операторов, и, изучив ее свойства, получим кольцо операторов.

Множество всех линейных операторов, действующих в пространстве L , обозначим Φ(L) .

На множестве Φ(L) введем операции сложения опера-

Доказательство. Покажем сначала, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Пусть A, B Φ(L) . Обозначим C = A + B , тогда для любых x, y L , λ P в силу линейности операторов A , B и аксиом линейного пространства имеем:

1) C(x + y) = A(x + y) + B(x + y) = Ax + Ay + Bx + By =

= ( Ax + Bx) +( Ay + By) = ( A + B)x +( A + B) y = Cx +Cy ,

т.е. свойство аддитивности выполнено.

2) C(λx) = A(λx) + B(λx) = λAx +λBx = λ( Ax + Bx) =

= λ(A + B)x = λCx ,

т.е. свойство однородности также выполнено.

Следовательно, A + B - линейный оператор, или

A + B Φ(L) .

Аналогично доказывается, что αA Φ(L) . (Докажи-

те!) ■ Изучим свойства введенных операций.

Теорема 12. Множество Φ(L) является линейным

пространством над полем P относительно введенных операций сложения и умножения на элементы поля P .

Доказательство. В силу теоремы 11 для любых линейных операторов A, B Φ(L) верно:

A + B Φ(L) , αA Φ(L) α P .

Покажем, что операции сложения операторов и умножения оператора на скаляр удовлетворяют всем восьми аксиомам из определения линейного пространства (см. п.1.1).

1) Операция сложения операторов коммутативна. Действительно, для любых операторов A, B Φ(L) и любого

вектора x L верно:

( A + B)x = Ax + Bx = Bx + Ax = (B + A)x ,

что означает A + B = B + A .

2) Операция сложения операторов является ассоциативной. Действительно, для любых операторов A, B,C Φ(L) и любого вектора x L верно:

((A + B) +C)x = (A + B)x +Cx = ( Ax + Bx) +Cx =

= Ax +(Bx +Cx) = Ax +(B +C)x = ( A +(B +C))x ,

Свойства 5-8 проверьте самостоятельно.

Таким образом, множество Φ(L) всех линейных опе-

раторов, действующих в пространстве L , образует линейное пространство. ■

Введем еще одну операцию - умножение операторов. Определение. Произведением линейных операторов

A, B Φ(L) называется оператор AB , определяемый равен-

ством:

( AB)x = A(Bx) x L .

Теорема 13. Произведение линейных операторов так же является линейным оператором.

Доказательство. Пусть операторы A, B Φ(L) . Покажем, что произведение AB Φ(L) .

Для любых x, y L и любого λ P имеем:

1)( AB)(x + y) = A(B(x + y)) = A(Bx + By) =

=A(Bx) + A(By) = ( AB)x +(AB) y ;

2)( AB)(λx) = A(B(λx)) = A(λBx) = λA(Bx) = λ( AB)x .

Из свойств 1), 2) следует, что AB - линейный оператор, или AB Φ(L) . ■

Теорема 13 означает, что умножение операторов - это бинарная операция на множестве Φ(L) . Напомним, что вы-

ше была введена еще одна бинарная операция - это сложение операторов.

Теорема 14. Множество Φ(L) относительно введен-

ных операций сложения и умножения операторов является кольцом с единицей.

Доказательство. Относительно сложения операторов множество Φ(L) является абелевой группой - это уже уста-

новлено выше (см. доказательство теоремы 12, проверка аксиом 1 - 4 линейного пространства).

Кроме того, операция умножения операторов ассоциативна:

( AB)C = A(BC) ;

операции сложения и умножения операторов связаны между собой законами дистрибутивности:

( A + B)C = AC + BC ;

A(B +C) = AB + AC . (Докажите!)

Следовательно, алгебраическая структура (Φ(L), +, )

является кольцом. Единицей этого кольца служит единичный оператор I . ■

Ниже будет показано, что кольцо операторов является

некоммутативным, т.к. в общем случае AB ≠ BA .

Определение. Оператор B называется обратным для оператора A , если AB = BA = I , где I - единичный оператор.

Обозначение: B = A−1 .

Не для каждого оператора существует обратный. Например, нулевой оператор O не имеет обратного, так как A O = O A = O для любого оператора A . Поэтому кольцо операторов не является полем.

Выше (см. п.2.2) было показано, что каждому линейному оператору, действующему в конечномерном линейном пространстве, при некотором фиксированном базисе соответствует квадратная матрица.

Можно показать, что действиям с линейными операторами соответствуют те же действия с их матрицами.

Пусть Ae , Be - матрицы линейных операторов A и B

в некотором фиксированном базисе e пространства L . Тогда матрицы операторов A + B , λA , AB определяются из равенств:

( A + B)e = Ae + Be , (λA)e = λ Ae ,

( AB)e = Ae Be ,

т.е. сумме операторов соответствует сумма их матриц, произведению операторов - произведение матриц.

Указанное соответствие между линейными операторами, действующими в n -мерном пространстве, и элементами кольца Mn (P) всех квадратных матриц n -го порядка с эле-

ментами из поля P означает, что:

1) кольцо линейных операторов изоморфно кольцу мат-

риц;

2) линейное пространство Φ(L) операторов изоморфно линейному пространству матриц Mn (P) , и значит dim Φ(L) = n2 .

Заметим, что поскольку умножение матриц не коммутативно, значит и умножение линейных операторов, вообще говоря, не коммутативно.

Оператор A−1 , обратный к оператору A , имеет матрицу ( Ae )−1 . Следовательно, обратный оператор существует

тогда и только тогда, когда его матрица в произвольном базисе обратима, т.е. | Ae |≠ 0 .

Контрольные вопросы и задания к п. 2.3

1.Какие операторы называются равными?

2.Как определяется сумма двух линейных операторов?

3.Чему равна в данном базисе матрица суммы A + B линейных операторов?

4.Как определяется произведение линейного оператора на число?

5.Чему равна в данном базисе матрица произведения линейного оператора A на число λ ?

6.Какова размерность линейного пространства линейных операторов, действующих в линейном пространстве размерности n ?

7.Как определяется произведение двух линейных операторов?

8.Чему равна в данном базисе матрица произведения линейных операторов?

9.Приведите пример линейных операторов A и B , для которых верно равенство AB = BA. Верно ли это равенство для любых операторов A и B ?

10.Какой оператор называется обратным к данному линейному оператору?

11.Для каких линейных операторов существует обратный оператор?

12.Как связаны между собой матрицы линейных операторов

Aи A−1 в данном базисе?

2.4.Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах

e : e1, e2 ,..., en - некоторый базис в L (старый базис), и оператор A в этом базисе имеет матрицу Ae . Выберем в L новый базис e′: e1′, e2′ ,..., en′ . В этом базисе оператор A имеет другую матрицу Ae′ . Выясним, как связаны между собой матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах.

Ae′ =T −1AeT ,

где T =Te→e′ - матрица перехода от базиса e к базису e′.

Доказательство. По условию A : L → L , т.е. Ax = y ,

где x, y L . При переходе от старого базиса e к новому базису e′ координаты векторов x , y изменяются (см. п.1.4) так, что

X =TX ′, Y =TY ′,

где X , Y - это координаты векторов x , y в базисе e (старые координаты); X ′, Y ′ - координаты в базисе e′ (новые координаты); T =Te→e′ - матрица перехода от базиса e к базису e′. Тогда операторное равенство y = Ax в базисе e примет вид:

Y = Ae X .

Заменяя Y и X на TY ′ и TX ′ соответственно, получим:

TY ′ = AeTX ′.

Умножим обе части этого матричного равенства на T −1 слева:

тельно, Ae′X ′ =T −1AeTX ′. Откуда получаем Ae′ =T −1AeT . ■ Определение. Квадратные матрицы A , B называются подобными, если существует такая невырожденная матрица

T , что A =T −1BT . При этом T называется трансформирующей матрицей.

Обозначение: A ≈ B .

Следствие. Матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах подобны. При этом трансформирующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому.

Отметим одно из важных свойств подобных матриц.

Теорема 16. Подобные матрицы имеют одинаковые определители.

Доказательство. Пусть A и B - подобные матрицы, т.е. A =T −1BT , где | T |≠ 0 . Тогда

| A |=| T −1BT |=| T −1 | | B | | T |= | T1 | | B | | T |=| B | ,

или | A |=| B | . ■

Следствие. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, т.е. | Ae |=| Ae′ |.

Переход к другому базису пространства позволяет иногда существенно упростить вид матрицы линейного оператора, например, матрица содержит побольше нулей или имеет диагональный вид. Способы выбора таких базисов будут