Материал: Анализ динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе

Анализ динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе

Введение

Поскольку концепция нелинейной динамической системы достаточно богата, чтобы охватить чрезвычайно широкий круг процессов, в которых будущее поведение системы определяется прошлым, методы анализа, разработанные в этой области, полезны в огромном разнообразии контекстов

Нелинейная динамика входит в литературу по крайней мере тремя способами. Во-первых, бывают случаи, когда экспериментальные данные об изменение во времени одной или нескольких величин собираются и анализируются с использованием методик, основанных на нелинейной динамической теории, с минимальными предположениями относительно лежащих в основе уравнений, управляющих процессом, который и создает эти данные. То есть, это случай, при котором стремятся найти корреляции в данных, которые могут направить разработку математической модели, вместо того, чтобы сначала угадать модель, а затем сравнить ее с данными.

Во-вторых, есть случаи, когда нелинейная динамическая теория может использоваться для утверждения, что некоторая упрощенная модель должна демонстрировать важные особенности данной системы, из чего следует, что описывающую модель можно построить и изучить в широком диапазоне параметров. Часто это приводит к моделям, которые ведут себя качественно по-разному при различных параметрах и демонстрируют, что одна область показывает поведение, весьма похожее на поведение, наблюдаемое в реальной системе. Во многих случаях поведение модели довольно чувствительно к изменениям параметров, поэтому, если параметры модели могут быть измерены в реальной системе, модель демонстрирует реалистичное поведение при этих значениях, и можно быть уверенным, что модель охватила существенные особенности система.

В-третьих, бывают случаи, когда модельные уравнения строятся на основе подробных описаний известной физики. Затем численные эксперименты могут дать информацию о переменных, недоступных физическим экспериментам.

Опираясь на второй путь, данная работа является расширением моей предыдущей работы «Нелинейная динамическая модель взаимозависимых отраслей производства», а также другой работы (Dmitriev, 2015)

Все необходимые определения и другие теоретические сведения, необходимые в работе, будут появляться в первой главе, по мере их необходимости. Здесь же будут приведены два определения, что необходимы для раскрытия самой темы исследования.

Для начала дадим определение системной динамики. Согласно одному из определений, системная динамика - подход имитационного моделирования, который, благодаря своим методам и инструментам, помогает оценить структуру сложных систем и их динамику (Штерман). Стоит добавить, что системная динамика также и метод моделирования, который используют с целью воссоздания верных (с точки зрения точности) компьютерных моделей для сложных систем ради их будущего использования для того, чтобы создать более эффективную компанию/организацию, а также улучшить методы взаимодействия с данной системой. Преимущественно необходимость в системной динамике возникает при столкновении с долгосрочными, стратегическими моделями, а также стоит отметить, что она довольно абстрактна.

Говоря о нелинейной дифференциальной динамики, мы будем рассматривать нелинейную систему, которая по определению, является системой, в которой изменение результата не пропорционально изменению входных параметров, и в которой функция описывает зависимость изменения во времени и положении точки в пространстве (Boeing, 2016).

Исходя из вышеназванных определений, становится понятно, что данная работа будет рассматривать различные нелинейные дифференциальные системы, описывающие взаимодействие компаний, а также построенные на их основе имитационные модели. Основываясь на этом и будет определена цель работы.

Таким образом, целью данной работы является проведение качественного анализа динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе.

Для достижения поставленной цели были выделены следующие задачи:

.        Определение устойчивости системы.

.        Построение фазовых портретов.

.        Нахождение интегральных траекторий систем.

.        Построение имитационных моделей.

Каждой из этих задач будет посвящен один из разделов каждой из глав работы.

Исходя из практики, построение основополагающих математических конструкций, которые эффективно моделируют динамику в различных физических как системах, так и процессах, свидетельствует о том, что соответствующая им математическая модель в некой степени отражает близость к исследуемому оригиналу, когда ее характерные признаки могут быть выведены из свойств и структуры из формирующего динамику системы вида движения. На сегодняшний день экономическая наука находится на такой стадии своего развития, при котором в ней особенно эффективно применяются новые, причем во многих случаях, нестандартные методы и способы физико-математического моделирования экономических процессов. Именно отсюда и вытекает вывод о необходимости создания, изучения и построение моделей, способных неким образом могут описать экономическую ситуацию.

Что касается причины выбора качественного, а не количественного анализа, то стоит отметить, что в подавляющем количестве случаев результаты и выводы из качественного анализа динамических систем оказываются значимее результатов их количественного анализа. В такой ситуации уместно указать на высказывания В.П. Милованова, в котором он утверждает, что традиционно полагают, что результаты, ожидаемые при применении математических методов для анализа реальных объектов, должны сводиться к численному итогу. В этом смысле на качественные методы возлагается несколько иная задача. В ней акцентируется внимание на достижении результата, описывающего качества системы, на поиске характерных особенностей всех явлений в целом, на прогнозирование. Разумеется, важно понимать, как изменится спрос при изменении цен на определенный вид товаров, но не стоит забывать, что гораздо важнее понимание, наступит ли в таких условиях дефицит или излишек этих товаров (Дмитриев, 2016).

Объектом данного исследования является нелинейная дифференциальная и системная динамика.

В таком случае, предмет исследования - описание процесса взаимодействия между компаниями через нелинейную дифференциальную и системную динамику.

Говоря о практическом применение исследования стоит сразу разбить его на две части. А именно на теоретическую, то есть качественный анализ систем, и практическую, в которой будет рассмотрено построение имитационных моделей.

Теоретическая часть данного исследования дает базовые понятия и явления. В ней рассмотрены простые дифференциальные системы, как и в работах многих других авторов (Teschl, 2012; Nolte, 2015), но при этом позволяющие описать взаимодействие между компаниями. Основываясь на этом в дальнейшем можно будет проводить более углубленные исследования, либо же начинать свое знакомство с тем, что из себя представляет качественный анализ систем.

Практическую часть работы можно использовать для создания системы поддержки принятия решений. Система поддержки принятия решений - автоматизированная информационная система, нацеленная на поддержку бизнеса или принятия решений в организации, позволяющая выбрать между множеством различных альтернатив (Keen, 1980). Пусть в данный момент модели и не обладают высокой точностью, но изменив их под конкретную компанию, можно добиться более верных результатов. Таким образом, при изменении в них различных параметров и условий, способных возникнуть на рынке, можно получить некий прогноз на будущее и принять заранее более выгодное решение.

1. Взаимодействие компаний в условиях мутуализма

В работе будут представлены двумерные системы, которые достаточно просты, в сравнение с системами более высокого порядка, но при этом позволяют продемонстрировать необходимые нам взаимоотношения между организациями.

Начать работу стоит с выбора вида взаимодействия, которое в дальнейшем и будет описываться, поскольку для каждого из видов описывающие их системы пусть немного, но различны. На рисунке 1.1, указана модифицированная под экономическое взаимодействие классификация Юджима Одума для взаимодействия популяций (Одум, 1968), основываясь на которой в дальнейшем мы будем рассматривать взаимодействие компаний.

Рисунок 1.1. Типы взаимодействия между предприятиями

Основываясь на рисунке 1.1, выделим 4 типа взаимодействия и приведем для каждого из них, описывающую их систему уравнений, основанной на модели Мальтуса (Malthus, 1798). Согласно ей, скорость роста имеет пропорциональную зависимость от текущей численности вида, иными словами, ее можно описать следующим дифференциальным уравнением:

 (1.1)

где a - некий параметр, зависящий от естественного прироста популяции. Также стоит добавить, что в рассматриваемых далее системах все параметры, а также переменные принимают неотрицательные значения.

.        Производство сырья - производство продукции, что аналогично модели хищник-жертва. Модель хищник-жертва, также известная как модель Лотки-Вольтерры, - пара нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих динамику биологической системы с двумя видами, один из которых хищники, а другой жертвы (Llibre, 2007). Изменение в численности этих видов описывается следующей системой уравнений:

 (1.2)

где  - характеризует рост продукции первого предприятия без влияния второго (в случае модели хищник-жертва, рост популяции жертв без хищников),

 - характеризует рост продукции второго предприятия без влияния первого (рост популяции хищников без жертв),

 - характеризует рост продукции первого предприятия с учетом влиянием на него второго (рост численности жертв при взаимодействии с хищниками),

 - характеризует рост продукции второго предприятия, учитывая влияние на него первого (рост численности хищников при их взаимодействии с жертвами).

На одного, на хищника, как видно из системы, а также классификации Одума, их взаимодействие накладывает благоприятное влияние. На другого неблагоприятное. Если рассматривать в экономических реалиях, то как видно на рисунке самым простым аналогом являются фирма производитель и ее поставщик ресурсов, которые соответствуют хищнику и жертве соответственно. Таким образом, в отсутствие сырья выпуск продукции экспоненциально снижается.

.        Конкуренция - это соперничество между двумя и более (в нашем случае мы рассматриваем двумерные системы, поэтому берем именно двувидовую конкуренцию) видами, экономическими группами за территории, ограниченные ресурсы или другие ценности (Elton, 1968). Изменения в численности видов, или же количестве продукции в нашем случае, описывается системой ниже:

 (1.3)

В данном случае виды или же компании, выпускающие один продукт, неблагоприятно влияют друг на друга. То есть, в отсутствие конкурента, рост продукции экспоненциально возрастет.

.        Теперь перейдем к симбиотическому взаимодействию, при котором оба предприятия имеют друг на друга положительное влияние. Для начала рассмотрим мутуализм. Мутуализм - тип отношений между различными видами, при котором каждый из них получает выгоду от действия другого, причем стоит отметить, что присутствие партнера обязательно условие существования (Thompson, 2005). Такой тип отношений описывается системой:

 (1.4)

Поскольку взаимодействие между компаниями необходимо для их существования, то в отсутствие продукта одной компании, выпуск товаров другой экспоненциально снижается. Такое возможно, когда у компаний попросту нет иных альтернатив для закупок.

.        Рассмотрим еще один вид симбиотического взаимодействия, протокооперацию. Протокооперация похожа на мутуализм с единственным исключением, нет необходимости в обязательном существовании партнера, поскольку, к примеру, существуют и другие альтернативы. Поскольку они похожи, то и их системы выглядят практически аналогично друг другу:

 (1.5)

Таким образом, отсутствие продукта одной компании не мешает росту продукта другой.