Материал: Анализ динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе

Как можно заметить, при любых наборах параметров, точка (0,0) - равновесная, и к тому же устойчивая. Также на некоторых рисунках можно заметить и седловую точку.

В данном случае рассматривались разные масштабы, чтобы нагляднее продемонстрировать, что даже при добавлении в систему фактора насыщения, качественная картина не меняется, то есть одного лишь насыщения недостаточно. Необходимо учесть, что на практике для компаний необходима стабильность, то есть если рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, то нас больше всего интересуют устойчивые равновесные точки, а в данных системах, такими точками являются лишь нулевые, что означает, что подобные математические модели явно не подойдут предприятиям. Ведь это означает, что лишь при нулевом производстве, компании находятся в устойчивости, что явно отличается от реальной картины мира.

.3 Интегральные траектории систем

В математике интегральная кривая является параметрической кривой, которая представляет собой конкретное решение обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений (Lang, 1972). Если дифференциальное уравнение представлено как векторное поле, то соответствующие интегральные кривые касаются поля в каждой точке.

Интегральные кривые известны и под другими названиями, в зависимости от природы и интерпретации дифференциального уравнения или векторного поля. В физике интегральные кривые для электрического поля или магнитного поля известны как линии поля, а интегральные кривые для поля скоростей жидкости известны как линии тока. В динамических системах интегральные кривые для дифференциального уравнения называются траекториями.

Рисунок 1.5. Интегральные кривые

Решения любой из систем можно рассматривать и как уравнения интегральных кривых. Очевидно, что каждая фазовая траектория - проекция некоторой интегральной кривой в пространстве x,y,t на фазовую плоскость.

Для построения интегральных кривых существует несколько способов.

Один из них - метод изоклин. Изоклина - это кривая, проходящая через точки, в которых наклон рассматриваемой функции будет всегда одним и тем же, вне зависимости от начальных условий (Hanski, 1999).

Он часто используется в качестве графического метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений. К примеру, в уравнении вида y'= f(x, y) изоклины являются линиями на плоскости (x, y), полученными приравниванием f (x, y) к константе. Это дает ряд линий (для разных констант), вдоль которых кривые решения имеют один и тот же градиент. Вычисляя этот градиент для каждой изоклины, поле наклона можно визуализировать, что позволяет сравнительно легко нарисовать приближенные кривые решения. На рисунке ниже продемонстрирован пример использования метода изоклин.

Рисунок 1.6. Метод изоклин

Данный метод не требует вычислений на компьютере, и был очень популярен ранее. Сейчас же существуют программные решения, которые на компьютерах построят интегральные кривые предельно точно и быстро. Однако, даже так метод изоклин неплохо зарекомендовал себя как инструмент для исследования поведения решений, поскольку позволяет показать области типичного поведения интегральных кривых.

Мальтузианская модель роста без насыщения.

Начнем с того, что несмотря на существование разных способов построения, показать интегральные кривые системы уравнений не так просто. Метод изоклин, упоминаемый ранее, не подходит, поскольку он работает для дифференциальных уравнений первого порядка. А программные средства, обладающие возможностью построения таких кривых, не находятся в открытом доступе. К примеру, Wolfram Mathematica, способная на это, платная. Поэтому постараемся максимально использовать возможности Wolfram Alpha, работа с которой описана в различных статьях и работах (Orca, 2009). Даже не смотря на то, что картина будет явно не совсем достоверной, но по крайней мере, позволит показать зависимость в плоскостях (x,t), (y,t). Для начала решим каждое из уравнений относительно t. То есть выведем зависимость каждой из переменных относительно времени. Для данной системы получаем:

 (1.10)

 (1.11)

Уравнения симметричны, поэтому рассмотрим лишь одно из них, а именно x(t). Пусть константа равна 1. В таком случае воспользуемся функцией построения графиков.

Рисунок 1.7. Трехмерная модель для уравнения (1.10)

Мальтузианская модель роста с насыщения.

Проделаем аналогичные действия и для другой модели. В конечном счете получаем два уравнения, демонстрирующих зависимость переменных от времени.

 (1.12)

 (1.13)

Вновь построим трехмерную модель и линии уровня.

Рисунок 1.8. Трехмерная модель для уравнения (1.12)

Поскольку значения переменных неотрицательны, то в дроби при экспоненте получаем отрицательное число. Таким образом со временем интегральная кривая убывает.

.4 Системная динамика взаимодействующих компаний

Ранее было дано определение системной динамики для понимания сути работы, теперь же остановимся на этом поподробнее.

Системная динамика - методология и метод математического моделирования для формирования, понимания и обсуждения сложных проблем, первоначально разработанная в 1950-х годах Джеем Форрестером, и описанная в его работе (Forrester, 1961).

Системная динамика является одним из аспектов теории систем как метода для понимания динамического поведения сложных систем. Основой метода является признание того, что структура любой системы состоит из многочисленных отношений между ее компонентами, которые зачастую столь же важны для определения ее поведения, как и сами отдельные компоненты. Примерами являются теория хаоса и социальная динамика, описанные в работах разных авторов (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Кузнецов, 2001; Табор, 2001). Также утверждается, что, поскольку в свойствах элементов часто не могут быть найдены свойства-целого, в некоторых случаях поведение целого не может быть объяснено с точки зрения поведения частей.

Моделирование может по-настоящему показать всю практическую значимость динамической системы. Хотя оно и возможно в электронных таблицах, существует множество программных пакетов, которые были оптимизированы специально для этой цели.

Само по себе моделирование - это процесс создания и анализа прототипа физической модели для прогнозирования ее производительности в реальном мире. Имитационное моделирование используется, чтобы помочь проектировщикам и инженерам понять, при каких условиях и в каких случаях процесс может потерпеть неудачу и какие нагрузки он может выдержать (Хемди, 2007). Моделирование также может помочь предсказать поведение потоков жидкости и остальные физические явления. В модели анализируется приблизительные условия работы за счет применяемых имитационных программных средств (Строгалев, 2008).

Ограничения на возможности имитационного моделирования имеют общую причину. Построение и численный расчет точной модели гарантирует успех лишь в тех областях, где существует точная количественная теория, т. е. когда известны уравнения, описывающие те или иные явления, и задача состоит всего лишь в том, чтобы решить эти уравнения с требуемой точностью. В тех же областях, где количественной теории не существует, построение точной модели имеет ограниченную ценность (Базыкин, 2003).

Тем не менее, возможности моделирования не безграничны. Прежде всего, это связано с тем, что трудно оценить сферу применимости имитационной модели, в частности, период времени, для которого прогноз может быть построен с необходимой точностью (Law, 2006). Кроме того, по своей природе имитационная модель привязана к конкретному объекту, а при попытке применить к другому, даже аналогичному ему объекту, требует радикальной корректировки или, по крайней мере, существенной модификации.

Имеется общая причина существования ограничений на имитационное моделирование. Построение и численный расчет «точной» модели успешен лишь при существовании количественной теории, то есть лишь в том случае, если все уравнения известны, а задача сводится лишь к решению данных уравнений с некой точностью (Базыкин, 2003).

Но даже несмотря на это, имитационное моделирование прекрасное средство визуализации динамических процессов, позволяющее, при более-менее верной модели, принимать решения, основанные на ее результатах.

В данной работе модели систем будут построены с помощью средств системной динамики, предлагаемых программой AnyLogic.

Мальтузианская модель роста без насыщения/

Перед построением модели необходимо рассмотреть элементы системной динамики, которыми мы будем пользоваться, и связать их с нашей системой. Следующие определения были взяты из справочной информации программы AnyLogic.

Накопитель - основной элемент диаграмм системной динамики. Они используются для представления объектов реального мира, в которых скапливаются некоторые ресурсы: деньги, вещества, численности групп людей, некие материальные объекты и т.п. Накопители отражают статическое состояние моделируемой системы, а их значения изменяются со временем в соответствие с существующими в системе потоками. Отсюда следует, что динамику системы задают потоки. Входящие и исходящие из накопителя потоки увеличивают или уменьшают значения накопителя.

Поток, равно, как и вышеупомянутый накопитель, - основной элемент системно-динамических диаграмм.

Пока накопители определяют статическую часть системы, потоки определяют скорость изменения значений накопителей, то есть как во времени происходят изменения запасов и, таким образом, определяют динамику системы.

Агент может содержать переменные. Переменные обычно используются для моделирования изменяющихся характеристик агента или для хранения результатов работы модели. Обычно динамические переменные состоят из функций накопителей.

Агент может иметь параметры. Параметры часто используются для представления некоторых характеристик смоделированного объекта. Они полезны, когда экземпляры объектов имеют одинаковое поведение, описанное в классе, но отличаются некоторыми значениями параметров. Между переменными и параметрами существует явная разница. Переменная представляет состояние модели и может изменяться во время моделирования. Параметр обычно используется для статического описания объектов. Во время одного «прогона» модели параметр обычно является константой и изменяется только тогда, когда нужно перенастроить поведение модели.

Связь - элемент системной динамики, использующийся для определения зависимости между элементами диаграммы потоков и накопителей.не создает связи автоматически, а принуждает пользователя явно рисовать их в графическом редакторе (однако стоит заметить, что AnyLogic также поддерживает механизм быстрой установки недостающих связей). Как пример, если какой-либо элемент A упоминается в уравнении или начальном значении элемента B, то сначала необходимо соединить эти элементы связью, идущей от A к B, и только затем ввести выражение в свойствах B.

Существуют и некоторые другие элементы системной динамики, но они не будут задействованы в ходе работы, поэтому опустим их.

Для начала рассмотрим из чего будет состоять модель системы (1.4).

Во-первых, сразу отмечаем два накопителя, которые будут содержать в себе значения количества продукции каждого из предприятий.

Во-вторых, поскольку у нас по два слагаемых в каждом уравнение, то получаем по два потока к каждому из накопителей, один входящий, другой исходящий.

В-третьих, переходим к переменным и параметрам. Переменных всего две. X и Y, отвечающие за рост продукции. А также у нас имеются четыре параметра.

В-четвертых, что касается связей, каждый из потоков должен быть связан с переменными и параметрами, входящими в уравнение потока, а также обе переменные должны иметь связь с накопителями для изменения значения со временем.

Подробное описание построения модели, как пример работы в среде моделирования AnyLogic, оставим для следующей системы, поскольку она несколько сложнее и в ней используется больше параметров, и сразу перейдем к рассмотрению готового варианта системы.

Ниже на рисунке 1.9 представлена построенная модель:

Рисунок 1.9. Модель системной динамики для системы (1.4)