Материал: Анализ динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе

Все элементы системной динамики соответствуют описанному выше, т.е. два накопителя, четыре потока (два входящих, два исходящих), четыре параметра, две динамические переменные, и необходимые связи.

На рисунке видно, что чем больше продукции, тем сильнее ее рост, что приводит к резкому росту количества товаров, что соответствует нашей системе. Но как уже было ранее сказано, отсутствие ограничения на этот рост не позволяют применять данную модель на практике.

Мальтузианская модель роста с насыщения/

Рассматривая данную систему, более подробно остановимся на построении модели.

Первым шагом добавляем два накопителя, назовем их X_stock и Y_stock. Каждому из них зададим начальное значение равное 1. Отметим, что в отсутствие потоков в классически заданном уравнение накопителя ничего нет.

Рисунок 1.10. Построение модели системы (1.9)

Следующий шаг - добавление потоков. Построим для каждого накопителя входящий и исходящий поток с помощью графического редактора. Нельзя забывать, что один из краев потока должен находится в накопителе, иначе, они не будут связаны.

Можно заметить, что уравнение для накопителя задалось автоматически, конечно, пользователь может и сам написать его, выбрав режим уравнения «произвольный», но проще всего оставить данное действие на программу.

Третьим шагом у нас является добавление шести параметров и двух динамических переменных. Дадим каждому элементу имя в соответствие с его буквенным выражением в системе, а также зададим начальные значения параметров следующим образом: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Все элементы уравнений присутствуют, осталось лишь написать уравнения для потоков, но для этого сначала необходимо добавить связи между элементами. К примеру, исходящий поток, отвечающий за слагаемое , должен быть связан с e1 и x. А каждая динамическая переменная, должна быть связана с соответствующим ей накопителем (X_stock  x, Y_stock  y). Создание связей происходит аналогично добавлению потоков.

После создания необходимых связей можно переходить к написанию уравнений для потоков, что демонстрируется на правом рисунке. Конечно, можно пойти и в обратном порядке, но при существовании связей, во время написания уравнений появляются подсказки для подстановки нужных параметров/переменных, что облегчает задачу в сложных моделях.

После выполнения всех шагов, можно запускать имитационную модель и посмотреть на ее результат.

Рассмотрев системы нелинейных дифференциальных уравнений взаимодействия компаний в условиях мутуализма, можно сделать несколько выводов.

.        Существует два состояния системы: резкий неограниченный рост, либо стремление количества продукции к нулю. Какое из двух состояний примет система зависит от параметров.

.        Ни одна из предложенных моделей, в том числе модель с учетом насыщениям, не подходит для практического применения, из-за отсутствия ненулевого устойчивого положения, а также причин, описанных в пункте 1.

.        В случае попытки дальнейшего исследования данного типа симбиотического взаимодействия для создания модели применимой компаниями на практике, необходимо дальнейшее усложнение системы и введение новых параметров. К примеру, Базыкин в своей книге приводит пример динамики двух мутуалистических популяций с введением дополнительного фактора внутривидовой конкуренции. За счет чего система принимает вид:

.       

 (1.15)

И в таком случае появляется ненулевое устойчивое положение системы, отделенное от нулевого «седлом», что приближает ее к реальной картине происходящего.

2. Взаимодействие компаний в условиях протокооперации

Все основные теоретические сведения были представлены в предыдущей главе, поэтому при анализе моделей, рассматриваемых в данной главе, теория по большей части будет опущена, за исключением нескольких моментов, с которыми мы не сталкивались в предыдущей главе, а также возможно сокращение в вычислениях. Рассматриваемая в данной главе модель взаимодействия организаций в условиях протокооперации, состоящей из систем двух уравнений, основанных на мальтузианской модели, выглядит как система (1.5). Проанализированные в предыдущей главе системы показали, что для их максимального приближения к действующим моделям необходимо усложнение систем. Исходя из данных выводов, сразу же добавим на модель ограничение на рост. В отличие от предыдущего типа взаимодействия, когда рост, не зависящий от другой компании, отрицателен, в данном случае все знаки положительны, а значит, имеем постоянный рост. Избегая недочетов, описанных ранее, постараемся ограничить его логистическим уравнением, также известным как уравнение Ферхюльста (Gershenfeld, 1999), имеющего следующий вид:

, (2.1)

где P - численность популяции, r - параметр, показывающий скорость роста, K - параметр, отвечающий за максимально возможную численность популяции. То есть со временем численность популяции (в нашем случае продукции), будет стремиться к некому параметру К.

Данное уравнение поможет сдержать безудержный рост продукции, наблюдаемый нами ранее. Таким образом система принимает следующий вид:

 (2.2)

Не стоит забывать, что объем хранимого товара на складе для каждой компании разный, поэтому параметры, ограничивающие рост различны. Назовем данную систему «модель протокооперации с ограничением Ферхюльста», и в дальнейшем будем использовать данное название, когда будем ее рассматривать.

Второй системой, которую мы будем рассматривать является дальнейшее развитие модели с ограничением Ферхюльста. Как и в предыдущей главе введем ограничение на насыщение, тогда система примет вид:

 (2.3)

Теперь каждое из слагаемых имеет собственное ограничение, поэтому уже без дальнейшего анализа можно заметить, что неограниченного роста, как в моделях предыдущей главы, не будет. А поскольку каждое из слагаемых демонстрирует положительный рост, то и количество продукции не упадет в ноль. Назовем данную модель «модель протокооперации с двумя ограничениями».

Данные две модели рассматриваются в различных источниках о биологических популяциях. Теперь постараемся несколько расширить системы. Для этого рассмотрим следующий рисунок.

На рисунке продемонстрирован пример процессов двух компаний: сталелитейной и угольной промышленности. В обоих предприятиях есть рост продукции, не зависящий от другой, а также есть рост продукции, который получается благодаря их взаимодействию. Это мы уже учитывали в ранних моделях. Теперь же стоит обратить внимание, что компании не только производят продукцию, они ее еще и продают, к примеру, на рынок либо взаимодействующей с ней компании. Т.е. исходя из логичных выводов, существует необходимость отрицательного роста компаний за счет продажи продукции (на рисунке за это отвечают параметры β1 и β2), а также за счет передачи части продукции другому предприятию. Ранее мы учитывали это лишь с положительным знаком у другой компании, но не рассматривали то, что у первого предприятия при передаче продукции ее количество уменьшается. В таком случае получаем систему:

 (2.4)

И если о слагаемом  можно сказать, что если бы в предыдущих моделях было указано, что , характеризуют естественный прирост, а параметр  может быть отрицательным, то разницы практически нет, то о слагаемом  такого сказать нельзя. К тому же в дальнейшем, рассматривая подобную систему с введенным на нее ограничением, правильнее использовать именно слагаемые положительного и отрицательного роста, так как в таком случае на них могут налагаться разные ограничения, что невозможно для естественного прироста. Назовем ее «расширенная модель протокооперации».

И наконец, четвертой рассматриваемой моделью является расширенная модель протокооперации с ранее упомянутым логистическим ограничением на рост. И система для данной модели такова:

, (2.5)

где  - прирост продукции первого предприятия, не зависящий от второго, с учетом логистического ограничения,  - прирост продукции первой компании, зависящий от второй, с учетом логистического ограничения,  - прирост продукции второго предприятия, не зависящий от первого, с учетом логистического ограничения,  - прирост продукции второй компании, зависящий от первой, с учетом логистического ограничения,  - потребление товаров первого предприятия, не связанное с другим,  - потребление товаров второго предприятия, не связанное с другим,  - потребление товаров первой отрасли второй отраслью,  - потребление товаров второй отрасли первой отраслью.

В дальнейшем данная модель будет обозначаться, как «расширенная модель протооперации с логистическим ограничением».

.1 Устойчивость систем в первом приближении

Модель протокооперации с ограничением Ферхюльста

Методы анализа устойчивости системы были указаны в аналогичном разделе предыдущей главы. Первым делом находим равновесные точки. Одна из них, как и всегда, нулевая. Другая представляет из себя точку с координатами .

Для нулевой точки λ1 = , λ2 = , поскольку оба параметра неотрицательны, то получаем неустойчивый узел.

Поскольку работать со второй точкой не совсем удобно, из-за отсутствия возможности сократить выражение, то определение типа устойчивости оставим на фазовые диаграммы, поскольку на них наглядно видно, устойчива равновесная точка или нет.

Модель протокооперации с двумя ограничениями.

Анализ данной системы сложнее предыдущей в силу того, что добавляется фактор насыщения, таким образом появляются новые параметры, а при нахождении равновесных точек придётся решать не линейное, а билинейное уравнение из-за переменной в знаменателе. Поэтому, как и в предыдущем случае, оставим определение типа устойчивости на фазовые диаграммы.

Несмотря на появление новых параметров, Якобиан в нулевой точке, также, как и корни характеристического уравнения, выглядит аналогично предыдущей модели. Таким образом, в нулевой точке неустойчивый узел.

Расширенная модель протокооперации.

Перейдем к расширенным моделям. Первая из них не содержит никаких ограничений и принимает вид системы (2.4)

Произведем замену переменных, ,  и . Новая система:

 (2.6)

В таком случае получаем две равновесные точки, точка А(0,0), В(). Точка В лежит в первой четверти, поскольку переменные имеют неотрицательное значение.

Для равновесной точки А получаем:

.        - неустойчивый узел,

.        - седло,

.        - седло,

.        - устойчивый узел,

В точке B корни характеристического уравнения являются комплексными числами: λ1 = , λ2 = . Мы не можем определить тип устойчивости полагаясь на теоремы Ляпунова, поэтому проведем численное моделирование, которое не покажет все возможные состояния, но позволит узнать, хотя бы некоторые из них.