Материал: Анализ динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе

Конечно, помимо перечисленных в пунктах 3 и 4, можно отметить и другие виды симбиотический отношений: комменсализм и аменсализм (Hanski, 1999). Но они не будут упоминаться в дальнейшем, поскольку в комменсализме одному из партнеров безразлично его взаимодействие с другим, а мы все-таки рассматриваем случаи, когда влияние есть. А аменсализм не рассматривается, поскольку с экономической точки зрения таких отношений, когда одному их взаимодействие вредит, а другому безразлично, попросту не может быть.

Исходя из влияния компаний друг на друга, а именно тому, что симбиотические отношения ведут устойчивому сосуществованию компаний, в данной работе будут рассмотрены лишь случаи мутуализма и протокооперация, поскольку в обоих случаях взаимодействие выгодно всем.

Эта глава посвящена взаимодействию компаний в условиях мутуализма. В ней будут рассмотрены две системы, являющиеся дальнейшим развитием систем, основанных на модели Мальтуса, а именно системами с накладываемыми ограничениями на увеличение продукции.

Динамику пары, связанной мутуалистическими отношениями, как уже было сказано выше, в первом приближении можно описать системой:

 (1.6)

Можно заметить, что при большом изначальном количестве продукции, система неограниченно растет, а при малом, производство продукции падает. В этом и заключается некорректность билинейного описания эффекта, возникающего при мутуализме. Чтобы попытаться исправить картину, введем фактор, напоминающий на насыщение хищника, то есть фактор, который позволит уменьшить скорость роста продукции, при его избытке. В этом случае приходим к следующей системе:

 (1.7)

где - рост производства продукта первой компании при ее взаимодействии со второй с учетом насыщения,

 - рост производства продукта второй компании при ее взаимодействии с первой с учетом насыщения,

 - коэффициенты насыщения.

Таким образом мы и получили две системы: мальтузианская модель роста с насыщением и без него.

1.1 Устойчивость систем в первом приближении

Устойчивость систем в первом приближении рассматривается во многих, как иностранных (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 и другие), так и русскоязычных работах (Ахромеева, 1992; Беллман, 1954; Демидович, 1967; Красовский, 1959 и другие), и ее определение является базовым шагом для анализа процессов, происходящих в системе. Для этого выполним следующие необходимые шаги:

.        Найдем равновесные точки.

.        Найдем матрицу Якоби системы.

.        Найдем собственные значения матрицы Якоби.

.        Классифицируем равновесные точки по теореме Ляпунова.

Рассмотрев шаги, стоит подробнее остановиться на их разъяснение, поэтому дам определения и опишу методы, которыми мы будем пользоваться в каждом из этих шагов.

Первый шаг, поиск равновесных точек. Для их нахождения приравняем каждую функцию к нулю. То есть решим систему:

 (1.8)

где под a и b подразумеваются все параметры уравнения.

Следующий шаг поиск матрицы Якоби. В нашем случае, это будет матрица 2 на 2 с первыми производными в некоторой точке , как представлено ниже:

После выполнения первых двух шагов переходим к нахождению корней следующего характеристического уравнения:

Где точка  соответствует равновесным точкам, найденным в первом шаге.

Найдя  и , перейдем к четвертому шагу и воспользуемся следующими теоремами Ляпунова (Parks, 1992):

Теорема 1: Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то равновесная точка соответствующая изначальной и линеаризованной системам - асимптотически устойчива.

Теорема 2: Если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то равновесная точка соответствующая изначальной и линеаризованной системам - асимптотически неустойчива.

Также, глядя на  и  можно и более точно определить тип устойчивости, основываясь на приведенному на рисунках 1.2 разделению (Lamar University).

Рисунок 1.2. Типы устойчивости равновесных точек

Рассмотрев необходимые теоретические сведения, перейдем к анализу систем.

Мальтузианская модель роста без насыщения.

Рассмотрим систему без насыщения:

Она очень проста и не подходит для практического применения, поскольку не имеет никаких ограничений. Но в качестве первого примера анализа системы подходит для рассмотрения.

Для начала найдем равновесные точки, приравняв правые части уравнений к нулю. Таким образом, обнаруживаем две равновесные точки, назовем их A и B: .

Объединим шаг с поиском матрицы Якоби, корней характеристического уравнения и определением типа устойчивости. Поскольку они элементарны, то сразу получим ответ:

1.       В точке  , , устойчивый узел.

.        В точке : , , седло.

Как я уже писал, данная система слишком тривиальна, поэтому не требовалось никаких пояснений.

Мальтузианская модель роста с насыщения.

Теперь проведем анализ системы с насыщения:

 (1.9)

Появление ограничения на взаимонасыщение продукцией предприятиями, приближает нас к реальной картине происходящего, а также немного усложняет систему.

Как и раньше, приравниваем правые части системы к нулю и решаем полученную систему. Точка  осталась без изменений, а вот другая точка в данном случае содержит больше параметров, чем раньше: .

В этом случае матрица Якоби принимает такой вид:

Отнимем от нее единичную матрицу, умноженную на , и приравняем определитель полученной матрицы в точке А и B к нулю.

.        В точке  аналогичную ранней картину:

, , устойчивый узел.

.        А вот в точке  все несколько сложнее, и пусть математика все-равно довольна проста, но сложность вызывает неудобность работы с длинными буквенными выражениями. Поскольку значения  получается довольно длинными и неудобно записываемыми, то они не приводятся, достаточно лишь сказать, что в данном случае, как и с предыдущей системой получаемый тип устойчивости - седло.

.2 Фазовые портреты систем

Подавляющее большинство нелинейных динамических моделей представляют из себя сложные дифференциальные уравнения, которые либо не решить, либо это представляет из себя некую сложность. Примером может послужить система из предыдущего раздела. Несмотря на кажущуюся простоту, нахождение типа устойчивости во второй равновесной точки было не легким делом (пусть и не с математической точки зрения), а с увеличением параметров, ограничений и уравнений для увеличения количества взаимодействующих предприятий, сложность будет лишь возрастать. Конечно, если параметры будут представлять из себя числовые выражения, то все станет невероятно просто, но тогда анализ в некотором роде потеряет всякий смысл, ведь в итоге, мы сможем найти равновесные точки и узнать их типы устойчивости лишь для конкретного случая, а не общего.

В таких случаях, стоит вспомнить о фазовой плоскости и фазовых портретах. В прикладной математике, в частности контексте нелинейного системного анализа, фазовая плоскость является визуальным отображением определенных характеристик некоторых видов дифференциальных уравнений (Nolte, 2015). Координатная плоскость с осями значений любой пары переменных, характеризующих состояние системы - двумерный случай общего n-мерного фазового пространства.

Благодаря фазовой плоскости можно графически определить существования предельных циклов в решениях дифференциального уравнения.

Решения дифференциального уравнения являются семейством функций. Графически это можно построить в фазовой плоскости, как двумерное векторное поле. На плоскости рисуются векторы, представляющие производные в характерных точках по какому-либо параметру, в нашем случае по времени, то есть (). При достаточном количестве этих стрелок в одной области можно визуализировать поведение системы, и легко идентифицировать предельные циклы (Boeing, 2016).

Векторное поле является фазовым портретом, конкретный путь вдоль линии потока (то есть путь, всегда касательный к векторам) является фазовым путем. Потоки в векторном поле указывают на изменение системы во времени, описываемое дифференциальным уравнением (Jordan, 2007).

Стоит отметить, что фазовый портрет можно построить, даже без решения дифференциального уравнения, и в это же время, хорошая визуализация может предоставить много полезной информации. К тому же в нынешнее время существует множество программ, способных помочь с построением фазовых диаграмм.

Таким образом, фазовые плоскости полезны для визуализации поведения физических систем. В частности, колебательных систем, таких как уже упоминаемая выше модель хищник-жертва. В этих моделях фазовые траектории могут «закручиваться» в направлении нуля, «выходить из спирали» в бесконечность или достигать нейтральной устойчивой ситуации, называемой центрами. Это полезно при определении того, стабильна динамика или нет (Jordan, 2007).

Представленные в данном разделе фазовые портреты будут построены с использованием инструментов WolframAlpha, либо приведены из других источников. Мальтузианская модель роста без насыщения.

Построим фазовый портрет первой системы с тремя набором параметров, чтобы сравнить их поведение. Набор А {(1,1), (1,1)}, который в дальнейшем будет называться единичным набором, набор B {(10,0.1), (2,2)}, при выборе которого в системе наблюдается резкий спад производства продукции, и набор C {(1,10), (1,10)}, при котором наоборот возникает резкий и неограниченный рост. Стоит отметить, что значение по осям во всех случаях будут находиться в одних и тех же интервалах от -10 до 10, для удобства сравнения фазовых диаграмм между собой. Конечно, это не относится к качественному портрету системы, у которого оси безразмерны.

Рисунок 1.3 Фазовый портрет с параметрами А

мутуализм дифференциальный предельный уравнение

На рисунке 1.3, представленных выше, продемонстрированы фазовые портреты системы при трех указанных наборах параметров, а также фазовый портрет, описывающий качественное поведение системы. Не стоит забывать, что самой важной с практической точки зрения является первая четверть, поскольку количество продукции, которое может быть лишь неотрицательным, и есть наши оси.

На каждом из рисунков явно видна устойчивость в равновесной точке (0,0). И на первом рисунке также заметно «седло» в точке (1,1), иными словами, если подставить значения набора параметров в систему, то в равновесной точке В. При изменении границ построения модели, седловая точка обнаруживается и на других фазовых портретах.

Мальтузианская модель роста с насыщения.

Построим фазовые диаграммы для второй системы, в которой присутствует насыщение, с тремя новыми наборами значений параметров. Набор А, {(0.1,15,100), (0.1,15,100)}, набор В {(1,1,0.5), (1, 1,0.5)} и набор С {(20,1,100), (20,1,100)}.

Рисунок 1.4. Фазовый портрет с параметрами А