Материал: Анализ динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе

Рисунок 2.2. Численное моделирование поиска типа устойчивости

Расширенная модель протокооперации с логистическим ограничением.

Рассматривая данную модель, придется столкнуться с вычислительными сложностями, поскольку в ней имеется большое количество разнообразных параметров, а также два ограничения.

Не вдаваясь в подробности вычислений, приходим к следующим равновесным точкам. Точка А(0,0) и точка В со следующими координатами:

(), где a =  

b = ,

c = .

Для точки А, определение типа устойчивости - тривиальная задача. Корни характеристического уравнения таковы λ1 = , λ2 = . Таким образом получаем четыре варианта:

1.       λ1 > 0, λ2 > 0 - неустойчивый узел.

2.       λ1 < 0, λ2 > 0 - седло.

3.       λ1 > 0, λ2 < 0 - седло.

4.       λ1 < 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Говоря о точке В, стоит согласиться, что подстановка сокращений в выражение для нее, усложнит работу с Якобианом и нахождением корней характеристического уравнения. К примеру, после попытки их поиска с помощью вычислительных средств WolframAlpha, вывод значения корней занял около пяти строк, что не позволяет работать с ними в буквенном выражении. Конечно, при наличии уже имеющихся параметров, представляется возможным быстро найти равновесную точку, но это частный случай, поскольку мы найдем состояние равновесия, если оно есть, лишь для данных параметров, что не подходит для системы поддержки принятия решений, для которой модель и планируется создаваться.

Из-за сложности работы с корнями характеристического уравнения построим взаимное расположение нуль-изоклин по аналогии с разобранной в работе Базыкина системой (Базыкин, 2003). Это позволит нам рассмотреть возможные состояния системы, и в дальнейшем при построении фазовых портретов обнаружить равновесные точки и типы их устойчивости.

После некоторых вычислений уравнения нуль-изоклин принимают следующий вид:

 (2.7)

где:

,

Таким образом, изоклины имеют вид парабол.

Рисунок 2.3. Возможный вариант расположения нуль-изоклин

Всего возможно четыре случая их взаимного расположения по количеству общих точек между параболами. Для каждого из них существуют свои наборы параметров, а значит и фазовые портреты системы.

.2 Фазовые портреты систем

Модель протокооперации с ограничением Ферхюльста.

Построим фазовый портрет системы, при условии, что  а остальные параметры равны 1. В данном случае достаточно и одного набора переменных, поскольку качественная не изменится.

Как видно из представленных ниже рисунков, нулевая точка - неустойчивый узел, а вторая точка, если подставить числовые значения параметров, то получим (-1.5,-1.5) - седло.

Рисунок 2.4. Фазовый портрет для системы (2.2)

Таким образом, поскольку никаких изменений не должно происходить, то для данной системы существуют лишь неустойчивые состояния, что скорее всего связано с возможностью неограниченного роста.

Модель протокооперации с двумя ограничениями.

В данной системе присутствует дополнительный сдерживающий фактор, поэтому фазовые диаграммы должны отличаться от предыдущего случая, что и видно на рисунке. Нулевая точка также - неустойчивый узел, но в данной системе появляется устойчивое положение, а именно устойчивый узел. При данных параметрах его координаты (5.5,5.5), он представлен на рисунке.

Рисунок 2.5. Фазовый портрет для системы (2.3)

Таким образом, ограничение на каждое слагаемое позволило получить устойчивое положение системы.

Расширенная модель протокооперации.

Построим фазовые портреты для расширенной модели, но сразу используя ее модифицированный вид:

Рассмотрим четыре набора параметров, причем таких, чтобы рассмотреть все случаи с нулевой равновесной точкой, а также продемонстрировать фазовые диаграммы численного моделирования, используемого для ненулевой равновесной точки: набор А(1,0.5,0,5) соответствует состоянию , набор В(1,0.5,-0.5) соответствует набор С(-1,0.5,0,5)  а набор D(-1,0.5,-0,5) , то есть устойчивому узлу в нулевой точке. Первые два набора продемонстрирует фазовые портреты для параметров, которые мы рассматривали при численном моделировании.

Рисунок 2.6. Фазовый портрет для системы (2.4) с параметрами А-D.

На рисунках необходимо обратить внимание на точки (-1,2) и (1,-2) соответственно, в них возникает «седло». Для более детального представления, на рисунке представлен иной масштаб рисунка с седловой точкой (1,-2). На рисунке в точках (1,2) и (-1,-2) виден устойчивый центр. Что касается нулевой точки, то начиная с рисунка по рисунок на фазовых диаграммах отчетливо различим неустойчивый узел, седло, седло и устойчивый узел.

Расширенная модель протокооперации с логистическим ограничением.

Как и в предыдущей модели продемонстрируем фазовые портреты для четырех случаев нулевой точки, а также постараемся отметить и ненулевые решения на этих диаграммах. Для этого возьмем следующие наборы параметров с параметрами, указанными в следующем порядке (): А(2,1,2,1), Б(2,1,1,2), С(1,2,2,1) и Д(1,2,1,2). Остальные параметры для всех наборов будут следующими: , .

На представленных далее рисунках можно наблюдать четыре равновесных состояния нулевой точки, описанных в предыдущем разделе для данной динамической системы. А также на рисунках устойчивое положение точки с одной ненулевой координатой.

Рисунок 2.7. Фазовый портрет для системы (2.5) с параметрами А-B

.3 Интегральные траектории систем

Модель протокооперации с ограничением Ферхюльста

Как и в предыдущей главе решим каждое из дифференциальных уравнений по отдельности и явно выразим зависимость переменных от временного параметра.

 (2.8)

 (2.9)

Из полученных уравнений видно, что значение каждой из переменных растет, что и демонстрируется на трехмерной модели ниже.

Рисунок 2.8. Трехмерная модель для уравнения (2.8)

Данный вид графика в начале чем-то напоминает трехмерное изображение мальтузианской модели без насыщения, рассматриваемую в главе 1, поскольку имеет аналогичный ей быстрый рост, но в дальнейшем можно заметить снижение скорости роста из-за достижения ограничения на объем продукции. Таким образом итоговый внешний вид интегральных кривых схож с графиком логистического уравнения, которое было использовано, чтобы ограничить одно из слагаемых.

Модель протокооперации с двумя ограничениями.

Решаем каждое из уравнений с помощью средств Wolfram Alpha. Таким образом, зависимость функции x(t) сводится к следующему виду:

 (2.10)

Для второй функции ситуация аналогична, поэтому опустим ее решение. Численные значения появились из-за замены параметров некими подходящими им значениями, что не влияет на качественное поведение интегральных кривых. На представленных ниже рисунках заметно использования ограничений на рост, поскольку со временем экспоненциальный рост переходит в логарифмический.

Рисунок 2.9. Трехмерная модель для уравнения (2.10)

Расширенная модель протокооперации

Практически аналогично моделям при мутуализме. Единственная разница в более быстром относительно тех моделей росте, что видно из представленных ниже уравнений (если посмотреть на степень экспоненты) и графиков. Интегральная кривая должна принимать вид экспоненты.

 (2.11)

 (2.12)

Расширенная модель протокооперации с логистическим ограничением

Зависимость x(t) выглядит следующим образом:

Без графика сложно оценить, поведение функции, поэтому воспользовавшись уже известными нам средствами, построим его.

Рисунок 2.10 Трехмерная модель для уравнения

Значение функции убывает при не малых значениях другой переменной, что связано с отсутствием ограничений на отрицательное билинейное слагаемое, и является очевидным итогом

.4 Системная динамика взаимодействующих компаний

Модель протокооперации с ограничением Ферхюльста.

Построим систему (2.2). Используя уже известные нам инструменты строим имитационную модель. В этот раз в отличие от мутуалистических моделей, в модели будет присутствовать логистическое ограничение.

Рисунок 2.11. Модель системной динамики для системы (2.2)

Запустим модель. В этой модели стоит отметить тот факт, что рост от взаимосвязи ничем не ограничен, а рост продукции без влияния другого имеет специфическое ограничение. Если посмотреть на само выражение логистической функции, то можно заметить, что в случае, когда переменная (количество товаров) превышает максимально возможный объем хранения, слагаемое становится отрицательным. В случае, когда существует лишь логистическая функция, такое невозможно, но при дополнительном всегда положительном факторе роста, такое возможно. И сейчас важно понять, что логистическая функция справится с ситуацией не слишком быстрого роста количества продукции, к примеру, линейного. Обратим внимание на рисунки ниже.

Рисунок 2.12. Пример работы модели системной динамики для системы (2.2)

На левом рисунке продемонстрирован 5 шаг работы программы соответствующей предложенной модели. Но в данный момент стоит обратить внимание на правый рисунок.

Во-первых, для одного из входящих потоков для Y_stock удалена связь с х, выраженная в слагаемом . Это сделано для того, чтобы показать разницу в работе модели при линейном всегда положительном потоке, и билинейном росте, который представлен для X_stock. При линейных неограниченных потоках после превышения параметра К система в какой-то момент приходит к равновесию (в данной модели, равновесное состояние - 200 тысяч единиц товара). Но намного раньше билинейный рост приводит к резкому роста количества товара, переходящем в бесконечность. Если же оставить и правый и левый постоянно положительные потоки билинейными, то уже приблизительно на 20-30 шаге, значение накопителя приходит к разности двух бесконечностей.

Исходя из вышеперечисленного, можно с уверенностью утверждать, что в случае дальнейшего использования подобных моделей, необходимо ограничить любой положительный рост.

Модель протокооперации с двумя ограничениями.

Выяснив недочеты прошлой модели и введя ограничение на второе слагаемое фактором насыщения, построим и запустим новую модель.

Рисунок 2.13. Модель системной динамики и пример ее работы для системы (2.3)

Данная модель, в конечном итоге, приносит долгожданные результаты. Получилось ограничить рост значений накопителя. Как видно из правого рисунка для обоих предприятий равновесие достигается при небольшом превышении объема хранения.