Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

Получили систему нелинейных уравнений. В отличие от систем линейных уравнений не существует решения нелинейных систем общего вида для прямых методов. Лишь в отдельных случаях системы подобного вида удается разрешить непосредственно в явном виде.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используют итерационные методы. Наиболее простым с точки зрения программной реализации и, кроме того, обладающим оптимальной скоростью сходимости является метод решения систем нелинейных уравнений Ньютона.

В основе метода Ньютона [2] лежит разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (2.134) (например, полученные на предыдущей итерации) равны соответственно a1 , ..., an , b1 , b2 . Задача состоит в нахождении приращений

Полученная в результате система линейных уравнений решается методом Гаусса относительно поправок x1 , ..., xn , λ1 , λ2 .

Алгоритм решения задачи формирования оптимального портфеля максимальной доходности, с заданной величиной риска VaR может быть представлен следующей последовательностью действий.

1.Задаем начальные приближения ai, b (i =1, …, n; j = 1, 2) для системы линейных уравнений (2.134).

2.Задаем ε – точность, с которой необходимо получить решение задачи.

3.Решаем систему линейных уравнений (2.134) методом Гаусса

относительно приращений xi (i =1, n) и λ j ( j =1, 2) .

4. После нахождения решения задаем начальные приближения равными следующим величинам: ati = at−1,i + xi , bt, j = bt−1,i + λ j , здесь t – номер итерации.

156

5. Проверяем выполнение неравенства xi ≤ ε и λ j ≤ ε , если

эти условия выполняются, то переходим к шагу 6. Если нет, то переходи к шагу 1, где начальные приближения задаем равными величинам, полученным в пункте 4.

6. Принимаем xi* = ai , i =1, n , и выходим из цикла решения задачи.

2.3.4.Пример задачи формирования оптимального портфеля

Вкачестве тестового примера была взята ситуация из реальной жизни одного из участников фондового рынка России в 2003–2004 гг.

Объем денежных средств, которые трейдер в состоянии инвестировать в рынок ценных бумаг, равен 60 000 000 руб. Временной горизонт, на который делается расчет инвестиционного портфеля, равен одной неделе или семи дням. Доверительный интервал равен 95 %. Величина допустимого риска (VaR) равна 1 800 000 руб. То есть вероятность того, что наши убытки не превысят 1 800 000 руб.

втечение недели, равна 5 %.

С использованием истории цен на акции с начала 2002 г. по конец первого квартала 2004 г. были рассчитаны доходность (см. формулу (2.97)) и индивидуальный риск (см. формулу (2.104)) акций каждого эмитента.

При составлении выражения для риска диверсифицированного портфеля была рассчитана ковариационная матрица доходностей акций (см. формулы (2.107), (2.108)), на диагонали которой стоят дисперсии доходностей бумаг.

Ниже представлены результаты расчета банковского портфеля по приведенной выше методике за различные промежутки времени. В табл. 2.2–2.6 указаны доля акций каждого эмитента в портфеле

портфель и общая доходность портфеля, вычисленная по формуле

(2.100).

157

Таблица 2.2

Оптимальный портфель максимальной доходности, рассчитанный по историческим данным в период с 1 по 31 марта 2003 г., %

Таблица 2.4

Оптимальный портфель максимальной доходности, рассчитанный по историческим данным в период с 1 по 30 сентября 2003 г., %

2.4. Определение начальных условий движения космического аппарата

2.4.1. Математическая модель движения космического аппарата

В настоящих расчетах будем использовать неинерциальную систему прямоугольных координат, связанную с вращающейся Землей: центр системы координат совпадает с центром Земли, основная плоскость OXY совпадает с плоскостью экватора, ось OX – направлена на точку пересечения плоскости орбиты спутника в восходящем узле с плоскостью экватора в начальный момент времени, ось OZ совпадает с осью вращения Земли, ось OY дополняет систему до правой. Далее эту систему будем называть мгновенной системой координат. Данная система координат такая же, как гринвичская, а отличается от нее лишь начальным углом поворота.

Выбор этой системы удобен по следующим причинам.

1.Правые части уравнений движения не являются громоздкими.

2.Не нужен контроль положения гринвичского меридиана.

3.Координаты наблюдательного пункта (НП) постоянны, что удобно для оценки параметров движения.

Будем использовать следующую упрощенную модель движения: космический аппарат (КА) движется в центральном поле сил земного притяжения; модель Земли – сфера. Фактически это задача невозмущенного движения КА. Задача при таких допущениях имеет аналитическое решение, что позволяет проверить численную методику расчета на тестовых орбитах.

Уравнения движения будут иметь вид

160