Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

n
∑Vi xi ≤ Vport .	(2.110)

i=1

Второе ограничение появляется из лимита на величину риска, при превышении которой позиция принудительно закрывается:

VaR ≤ VaRzad .

(2.111)

Подставив в (2.111) соотношения (2.106), (2.104), (2.98), полу-

чим рисковую стоимость для временного горизонта T:

n	TVi xi σt )2	n n
VaR = ∑(k1−α	TVi xi σt )2	+ 2∑∑ρij T	T (k1−αVi xi σt )(k1−αV j x j σt ) ≤
i=1		i=1 j=i
		≤ VaRzad .	(2.112)

Количество отдельных видов каждого актива не может быть отрицательным и является всегда целым, поэтому верно неравенство

xi ≥ 0 , xi Z; i =1,n .

Таким образом, задача формирования инвестиционного портфеля максимальной доходности, с заданными объемом инвестиций и значением риска выглядит следующим образом.

Найти

					n	V x

							i
		max	J (x1...xn )	= Rp (x1...xn ) = ∑Ri		i	i
		max	J (x1...xn )	= Rp (x1...xn ) = ∑Ri
					i=1
					i=1	Vport
при ограничениях
n
∑Vi xi ≤Vport ;
i=1
	n		n	n
	∑(k1−α TVi xiσi )2 + 2∑∑ T T ρij (k1−αVi xiσi )(k1−αVj xj σj ) ≤
	i=1		i=1	j=i
≤VaRzad ;

	≥ 0, i =1, n;		xi Z, i =1,n.
xi	≥ 0, i =1, n;		xi Z, i =1,n.

Введем обозначения:

151

c	= R	Vi	;	d		= ρ		T T k2 VV	σ	σ	;

i	i Vport				ij		ij	1−α i j	j	i	(2.113)

ρii =1; i, j =1, n.

С учетом введенных обозначений, данную задачу можно записать в виде: найти

							n
									(2.114)
			max J (x1...xn ) = ∑ci xi						(2.114)
							i=1
							i=1
при ограничениях
n
∑Vi xi ≤Vport ;
i=1
		n					n n
	∑dii xi2 +				2∑∑dij xi x j			≤VaRzad ;	(2.115)
	i=1					i=1 j=i
x		≥	0, i =
x	i	≥	0, i =	1, n;
	i


xi Z, i =1, n.

2.3.3.Решение задачи формирования оптимального портфеля

сиспользованием множителей Лагранжа

Задача формирования банковского портфеля максимальной доходности с заданной величиной риска VaR, является задачей с линейным критерием и смешанными ограничениями, среди которых присутствуют как линейные, так и нелинейное ограничение. Так как максимизируемый критерий (2.114) и ограничения (2.115) (если пренебречь условием целочисленности аргументов оптимизации

xi , i =1, n ) являются выпуклыми дифференцируемыми функциями,

то поставленная задача может быть решена с помощью функций Лагранжа [1]. Учитывая, что данный метод предполагает минимизацию функции, запишем критерий задачи формирования инвестиционного портфеля в виде

n
J (x1...xn ) = −∑ci xi ,	(2.116)

i=1

152

при этом ограничения примут следующий вид:

n
∑Vi xi −V port ≤ 0;
i=1
	n		n n
	n		n n
	∑dii xi2	+ 2∑∑dij xi x j		−VaRzad ≤ 0;	(2.117)
	i=1		i=1 j=i


xi ≥ 0, i =1, n.

Поскольку метод множителей Лагранжа не был рассмотрен в гл. 3, остановимся на этом методе более подробно.

Обозначим левые части неравенств (2.117) через g j (x), j =1, m ,

а критерий минимизации (2.116) через функцию			f (x) , тогда задача
будет иметь следующий вид: найти
min f (x)			(2.118)
при ограничениях
g j (x) ≤ 0, j =		.	(2.119)
	1, m

Введем дополнительные переменные z j , j =1, m , и перейдем от ограничений неравенств (2.119) к ограничениям равенствам:

g j (x) + z 2j = 0, j =1, m .

Запишем функцию Лагранжа задачи (2.118), (2.120):

~	m	2	] .

L(x, λ, z) = f (x) + ∑λ j [g j (x) + z j

j=1

Система уравнений для ее стационарных точек имеет вид

~			m	∂g j
∂L		∂f
∂L		∂f
	=		+ ∑λ j		= 0, i =1, n ;
∂xi	=	∂xi	+ ∑λ j	∂xi	= 0, i =1, n ;
∂xi		∂xi	j=1	∂xi

∂~

L = 2λ j z j = 0, j =1,.m ;

∂z j

(2.120)

(2.121)

(2.122)

(2.123)

153

~
∂L	= g j (x) + z 2j = 0,		.	(2.124)
		j =1, m

∂λ j

Условия (2.122) – (2.124) являются необходимыми условиями минимума задачи (2.118), (2.119). Очевидно, что равенства с вели-

чинами z 2j ≥ 0 эквивалентны неравенствам (2.119).

Исключим из этой системы вспомогательные переменные zj. Умножив каждое равенство из (2.123) на zj/2, получим: λ j z 2j = 0 или, как нетрудно убедиться из соотношения (2.124),

λ j g j = 0 .

(2.125)

С учетом последних соотношений необходимые условия минимума для задачи (2.118) – (2.119) принимают вид

∂L(x,

)

∂f (x)

∂g j (x)

+ ∑λ j

= 0,

i =1, n ;

(2.126)

∂xi

j=1

∂L(x,

) = g j (x) ≤ 0, j =

;

(2.127)

1, m

∂λ j

λ j g j (x) = 0,

j =

(2.128)

1,.m

Существует следующая теорема [14].

Теорема. Пусть x* , λ* – решение системы (2.126) – (2.128). Тогда, если точка x* является решением задачи (2.126) – (2.128), то

λ*i ≥ 0 для всех i = 1, …, n.

С учетом вышеприведенной теоремы и выражений (2.126) – (2.128) можно сформулировать необходимые условия минимума в задаче (2.118) – (2.119) с допустимым множеством, удовлетворяю-

щим условию регулярности: если	x* является решением задачи
(2.118) – (2.119), то для чисел λ*j ,	j =1, ..., n			выполняются соотно-
шения
λ* j ≥ 0, j =			;	(2.129)
		1, m

154

∂L(x* )

∂f (x)

λ* j

∂g j (x* )

+ ∑

= 0,

i =1, n ;

(2.130)

∂xi

j=1

λ* j g j (x* ) = 0,

j =

;

(2.131)

1, m

g j (x* ) ≤ 0,

j =

(2.132)

1, m

которые называются условиями Куна – Такера [14].

Эти условия являются также и достаточными условиями мини-

мума в задаче (2.118) – (2.119).

Запишем функцию Лагранжа непосредственно для нашей задачи:

L(x, λ) = −∑ci xi + λ1 ∑Vi xi

−Vport

i=1

n n

−VaRzad

+ λ2

∑dii xi2 + 2∑ ∑dij xi x j

(2.133)

i=1

i=1 j=i

Запишем условия Куна – Такера:

gi (x) ≤ 0,

λi ≥ 0,

i =1,2;

= 0;

λ1 ∑Vi xi −V port

i=1

λ2

∑dii xi2 + 2∑∑dij xi x j

−VaRzad

(2.134)

i=1

i=1 j=i

2dkk xk

+ ∑dki xi

i=1

+ λ V

i≠k

= 0; k =1,..., n.

n n

1 k

∑dii xi2 +

2∑∑dij xi x j

i=1

i=1 j=i

155

Источник: https://studfile.net/preview/16708738/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)