Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

r x2 y2 z2 – модуль радиус-вектора КА.

Первые слагаемые в правых частях уравнений для производных скоростей КА системы (80) являются проекциями силы тяготения на соответствующие оси. Второе и третье слагаемые в уравнениях для производных скоростей Vx и Vy обусловливают переход в неинерциальную вращающуюся систему координат.

Начальные условия определяются по данным траекторных измерений, которые образуют массив измеренных текущих навигационных параметров (ИТНП). При этом под траекторными измерениями понимаются измерения радиальной скорости D спутника относительно НП. Измерения радиальной скорости производятся с наземного НП в согласовании с бортом КА. Выбор радиальной скорости КА в качестве измеряемой функции обусловлен конструктивными возможностями системы.

Рассматривается движение КАна пассивном участке траектории. Во введенной ранее мгновенной системе координат состояние КА характеризуется в каждый момент времени t тремя координа-

тами x, y, z и тремя компонентами вектора скорости Vx, Vy, Vz.

Эти шесть параметров однозначно определяются через некоторые

НУ x0, y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0 как решение задачи Коши. Таким образом, x0, y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0 однозначно определяют траекторию движения КА по

теореме осуществовании и единственности решения задачи Коши. Введем обозначение Q = {x, y, z, Vx, Vy, Vz}. В момент времени tn

производят измерение функции D параметров траектории

где D – радиальная дальность КА относительно НП; D – радиальная скорость; x, y, z, Vx, Vy, Vz – соответственно координаты и скорости КА в гринвичской системе координат, xнп, yнп, zнп – координаты НП. Как видно из (2.138); D – является функцией от текущих параметров траектории, которые зависят от НУ.

161

При этом измерения проводятся со среднеквадратичной ошибкой σn. Измеренное значение обозначим Dn изм .

Совокупность значений Dn изм (n = 1…N) функции D , измере-

ния которой проводятся в процессе полета КА на определенном промежутке времени, образует множество траекторных измерений.

Таким образом, задача обработки траекторных измерений и, соответственно, данного модуля формулируется следующим образом: определить неизвестные параметры x0, y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0, характеризующие движение КА по информации о его траектории в виде измерений Dn изм , n = 1…N, полученных с известной точно-

стью и проведенных в моменты времени t1, t2, …, tN.

В качестве основной апостериорной информации о траектории методика определения параметров КА использует траекторные измерения. Предполагаем, что ошибки этих измерений носят случайный характер, некоррелированы между собой и распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией.

Наряду с рассмотренной апостериорной информацией для определения параметров движения используется и априорная информация о траектории, которая содержит ожидаемые значения определяемых параметров Q. Эти значения определяются в результате обработки предыдущих сеансов измерений и дальнейшего прогнозирования по ним параметров траектории КА.

Избыточность измерений (по сравнению с числом определяемых параметров) и случайный характер их ошибок вызывают необходимость статистического подхода к решению поставленной задачи. Результатом такого подхода и принятых допущений о характере ошибок измерений явился выбор в качестве статистического метода – метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК), применяемый для определения параметров Q0 траектории по измерениям

D1изм , D2изм , …, DN изм ,

приводит к необходимости минимизации целевой функции

162

где Dn – расчетное значение радиальной скорости; σi – средне-

квадратическое отклонение измеренного значения.

Запишем для целевой функции (2.139) необходимые условия существования экстремума:

163

где

частные производные по текущим параметрам определяются в виде

164

где xнп, yнп, zнп – координаты НП.

2.4.2. Выбор алгоритма решения

Решение методом Ньютона – Гаусса сводится к серии последовательных приближений. Число приближений зависит от степени близости выбранного нулевого приближения x0(0) , y0(0) , z0(0) , Vx(00) ,

Vy(00) , Vz(00) к точному решению.

Пусть на (s – 1) приближении для параметров получены значения Q(s 1) , тогда разлагаем в ряд Тейлора в окрестностях этих зна-

165