Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

где

z0 z0(s 1) , Vx0 Vx(0s 1) , Vy0 Vy(0s 1) , Vy0 Vy(0s 1) .

Подставляя выражение (2.144) в необходимые условия экстремума (2.141), приходим к нормальной системе линейных уравнений относительно поправок

q(s) { x(s), y(s), z(s), Vx(s), Vy(s), Vz(s)}.

Введем следующие обозначения: x0 = q1, y0 = q2, z0 = q3, Vx0 = q4, Vy0 = q5, Vz0 = q6. Тогда с учетом этих обозначений получим сле-

дующий вид системы

Производные по уточняемым параметрам вычисляются при qi qi(s 1) , i = 1, …, 6:

166

m

Ajk q(js) Bk , k = 1, …, 6, (2.148)

j 1

где

Таким образом, на каждом приближении для определения поправок к параметрам, полученным на предыдущем приближении, решатся система уравнений (2.148) методом Гаусса.

Матрица и правые части этой системы формируются для каждого приближения при помощи выражений (2.149) из производных и рассогласований между наблюденными значениями измеряемой величины и ее расчетными значениями, причем производные и рассогласования считаются для траектории, определяемой параметрами предыдущего приближения, для каждого момента времени и каждой наблюдаемой величины.

Для вычисления производных

167

координате x0, x – изменение координаты х при изменении x0 на

x0.

Для вычисления производных по такой схеме одновременно интегрируется семь систем уравнений движения со следующими начальными условиями (НУ):

1)x0, y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0;

2)x0 + x0, y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0;

3)x0, y0 + y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0;

4)x0, y0, z0 + z0, Vx0, Vy0, Vz0;

5)x0, y0, z0, Vx0 + Vx0, Vy0, Vz0;

6)x0, y0, z0, Vx0, Vy0 + Vy0, Vz0;

7)x0, y0, z0, Vx0, Vy0, Vz0 + Vz0.

Для каждого приближения вычисляется величина среднеквадратичной ошибки веса

где N – общее количество измерений, участвующих в обработке на данном приближении; m – количество уточняемых параметров. Величина σ0 служит мерой разброса измерений вокруг траектории, определяемой параметрами, полученными в результате предыдущего приближения.

Ввиду возможноcти сильных флуктуаций в информации об измерениях отбор информации производится с использованием траектории, полученной в предыдущем приближении. В результате такого отбора в формировании коэффициентов Ajk и правых частей (2.148) Bk принимают участие лишь те траекторные измерения, для которых выполняется неравенство

где ν – параметр отбора, который при обработке информации, содержащей измерения со случайными ошибками, рекомендуется положить равным 3.

168

Эти вычисления завершаются приближением с номером s, для которого впервые выполняется неравенство

где εi – набор заданных погрешностей. Сходящийся процесс приближений сопровождается уменьшением среднеквадратичной

ошибки σ0.

Для проверки работоспособности данного алгоритма была построена имитационная модель. Была взята круговая орбита с наклонением 82,5 град., периодом обращения по ней Т = 7200 с, ра-

диусом r = 8059028,026032 м, v = 7032.828678 м/с. Для этой орбиты брались начальные условия в неподвижной системе координат:

Эти условия переводились в подвижную систему координат, ось OX которой в начальный момент времени совпадает с осью OX неподвижной системы координат.

Формулы пересчета выглядят следующим образом:

Начальные условия в подвижной системе координат будут иметь вид: x0 = 8059028.026032, y0 = 0.0, z0 = 0.0, Vx0 = 0.0, Vy0 = 330.294756, Vz0 = 6972.661854.

Были взяты следующие координаты НП: xнп = 4510634.1572, yнп = 4510634.1572, zнп = 0.0.

Далее интегрировалась система уравнений движения (2.136) с указанными начальными условиями методом Рунге – Кутта с шагом интегрирования h = 1 c на отрезке времени 48 ч. Полученная траектория принималась за истинную.

169

Из полученного массива координат выбирались только те витки, угол места для измерений на которых близок к 90 град. и НП оказывался практически в плоскости витка. По получившимся данным массива координат и скоростей рассчитывалась радиальная скорость D (89), которая затем зашумлялась генератором случайных чисел с заданным СКО. Этот массив значений радиальной скорости КА считался входным массивом измеренных значений.

Варьируя НУ и СКО шума, оценивалась работа алгоритма. В результате работы выяснилось, что алгоритм расходится и не дает близкого к НУ результата. Это происходит потому, что получаемая

впроцессе работы алгоритма нормальная система линейных уравнений имеет плохо обусловленную основную матрицу. В результате численный поиск решения затрудняется, а ошибки вычислений становятся слишком большими.

Метод минимизации Ньютона – Гаусса не дал приемлемых результатов из-за плохой обусловленности матрицы нормальной системы линейных уравнений относительно невязок уточняемых параметров. Поэтому для минимизации функционала использовался метод покоординатного спуска с минимизацией по каждой из координат методом деления шага пополам. Этот метод лишен недостатка метода Ньютона – Гаусса. Он прост в реализации и хорошо зарекомендовал себя в различных задачах оптимизации. Основной недостаток этого метода – высокая вычислительная сложность, что,

всвою очередь, ведет к росту времени работы алгоритма.

При различных НУ и величинах СКО шума метод обладает малой скоростью сходимости и удовлетворительный результат не был получен во всех случаях из-за больших временных затрат. Причем на начальных итерациях наблюдается резкое уменьшение функционала. Затем разность между предыдущим и текущим значениями функционала уменьшается, и получаемые значения от итерации к итерации отличаются мало. Это говорит о том, что функционал в окрестности искомых значений близок к линейной форме, что подтверждает и метод Ньютона – Гаусса, так как частные производные радиальной скорости по искомым параметрам очень малы.

Получаемая в ходе работы алгоритма минимизации функционала методом Ньютона – Гаусса нормальная система линейных урав-

170