Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

нений относительно невязок уточняемых параметров имеет плохо обусловленную матрицу. В результате решения данной системы уравнений возникают большие численные ошибки, которые приводят к расхождению всего алгоритма в целом.

Коэффициенты матрицы линейных уравнений относительно невязок уточняемых параметров получаются как суммы соответствующих частных производных минимизируемого функционала по уточняемым параметрам. Поэтому плохая обусловленность данной матрицы может объясняться:

1)параметрами выбранной орбиты, выбором рабочих витков;

2)методом вычисления самих частных производных.

Для проверки первой из выдвинутых гипотез были рассчитаны параметры другой орбиты: наклонение 60 град., высота 500 км, тип

– круговая, радиус орбиты r = 6871160 м, скорость V = 7616.51 м/с, период обращения P = 5668.3099 с.

Начальные условия в мгновенной системе координат, связанной с невращающейся Землей, принимаемые за истинные, таковы: x = 6871160, y = 0, z = 0, Vx = 0, Vy = 3808.257, Vz = 6596.096.

Соответствующие им начальные условия для данной орбиты в мгновенной системе координат, связанной с вращающейся Землей, принимаемые за истинные для данной орбиты таковы: x = 6871160, y = 0, z = 0, Vx = 0, Vy = 3307.209949041, Vz = 6596.096063867.

Координаты наблюдательного пункта в мгновенной системе ко-

ординат: xнп = 451063572, yнп = –4510634.157, zнп = 0.

Чтобы исключить влияние выбора витков на алгоритм, в модели использована полная группа измерений – принято допущение о том, что измерения ведутся непрерывно в течение двух суток полета КА. Также принято допущение о том, что измеренные значения точные.

На построенной модели алгоритм минимизации функционала методом Ньютона – Гаусса вновь разошелся.

Численное дифференцирование является одной из самых неточных вычислительных операций. Поэтому от метода нахождения производной от функции многое зависит. В предложенном алгоритме вычисление частных производных велось по формулам

(2.142).

171

где D – значение радиальной скорости, вычисленной для траектории с возмущенной координатой qi = qi0 + q.

При таком способе вычисления частных производных и при вышеуказанных допущениях для имитационной модели предлагаемый алгоритм сходится в некоторой области начальных условий к истинным значениям уточняемых параметров. Причем сходимость наблюдается для обеих тестовых орбит.

В выражениях (2.142) присутствуют и операции извлечения корня, и операции деления, численные реализации которых приводят к росту вычислительных погрешностей. Учитывая, что при формировании матрицы линейных относительно невязок уточняемых параметров уравнений используется от 500 до 1000 измерений, накопление вычислительной ошибке критично сказывается на конечном результате. Упрощенная схема позволяет уменьшить вычислительную погрешность, и поэтому, как и ожидалось, алгоритм начинает работать.

Алгоритм сходится в некоторой окрестности начальных условий, когда погрешности по составляющим скорости не превышают нескольких десятков километров в секунду, а по координатам – несколько тысяч метров. Причем сходимость наблюдается и для физически реализуемой тестовой модели, т.е. если выбрать видимые с НП участки витков, которые расположены под углом места, приблизительно равным 90о к НП. Для нормальной работы алгоритма на данной тестовой модели достаточно четырех витков, причем два из них должны быть восходящими, а два – нисходящими.

2.5. Использование метода линеаризации при решении задач перехвата средств воздушного нападения

При решении штурманских задач истребительной авиации, направленных на расчет параметров траектории полета истребителя, возникают задачи минимизации углубления воздушных средств нападения противника на охраняемую территорию [39]. Как прави-

172

ло, это – сложные задачи нелинейного программирования при наличии нелинейных ограничений. Ниже предлагается метод расчета одной из таких задач, основанный на линеаризации исходных критерия и ограничений относительно текущей точки итерационного процесса минимизации. Прежде всего, рассмотрим классический профиль полета истребителя.

2.5.1.Особенности полета истребителя. Профиль полета

Вобобщенном случае вертикальный профиль полета летательного аппарата (ЛА) представляет собой полет «по потолкам». Характерный вид такого профиля полета представлен на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Вертикальный профиль полета ЛА

Производя полет по такой траектории, ЛА достигает наиболее рационального сочетания расход топлива – скорость. На рис. 2.12 обозначены участки вертикального профиля полета ЛА:

1) взлет – взлет ЛА с аэродрома и первоначальный набор высоты. Участок характеризуется временем взлета Tвзл , путем, который

при этом преодолевает ЛА Sвзл , и топливом, необходимым на взлет Gвзл ;

2)первый набор – полет ЛА до высоты крейсерского участка,

участок описывается функциями Tн1(H), Sн1(H), Gн1(H) – время, путь, топливо в зависимости от высоты, на которой находится ЛА;

3)крейсерский участок – горизонтальный полет на высоте Hкр наименьших затрат топлива, для этого участка известен секундный расход топлива gкр и скорость vкр;

173

4)разгон – участок, на котором ЛА преодолевает звуковой барьер и набирает скорость, необходимую для полета на балансном участке; в дальнейшем время, путь и затрачиваемое топливо на разгон будем обозначать Tр, Sр, Gр соответственно;

5)второй набор – полет ЛА до высоты балансного участка Нбал. Участок полностью определен функциями Tн2(H), Sн2(H), Gн2(H);

6)балансный участок – полет по горизонтали с одной из программных скоростей на высоте Нбал с секундным расходом топлива

gбал;

7) снижение – на данном участке ЛА снижается до рекомендо-

ванной высоты Hат; известны функции Tсн(H), Sсн(H), Gсн(H) и vсн(H) – время, путь, расходуемое топливо и скорость соответст-

венно в зависимости от высоты на участке снижения;

8)конечный участок – полет по горизонтали на высоте Нат и на скорости vат = vсн(Нат) в течение заранее заданного интервала времени Tат (порядка 30 с); известен секундный расход топлива gат(Нат); в конце этого участка производится применение оружия;

9)применение оружия – ракета, оснащенная головкой самонаведения, летит до поражения ВО с заранее известной средней скоро-

стью vрак, также известна предельная упрежденная дальность пуска ракеты D.

После применения оружия (пуска ракеты), ЛА возвращается на аэродром. Полет на аэродром (привод) проходит с более простым вертикальным профилем (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Профиль полета истребителя на приводе

174

Вертикальный профиль полета на приводе состоит из следующих участков:

1)набор или снижение – это участок, на котором происходит

набор или снижение до высоты привода Нпр и который характеризуется величинами Tн пр(Нат), Sн пр(Нат), Gн пр(Нат);

2)крейсер привода – полет по горизонтали на высоте Нпр со ско-

ростью vпр и с наименьшим километровым расходом топлива qпр; 3) снижение до аэродрома – снижение и посадка ЛА на аэро-

дром. Участок характеризуется временем снижения Tсн пр, путем, который истребитель преодолевает при снижении Sсн пр, и затрачиваемым на снижение и посадку топливом Gсн пр + Gпос.

2.5.2. Модель движения истребителя

Прежде чем перейти к изложению алгоритма, необходимо прокомментировать упрощения, к которым пришлось прибегнуть для построения математической модели.

1.Воздушный объект (ВО) движется равномерно по большому кругу Земли. Это – серьезное допущение, но единственно возможное предположение, которое мы можем сделать. Это допущение сделано на том основании, что для совершения маневра, особенно в вертикальной плоскости, требуются колоссальные затраты топлива. Следовательно, логично предположить, что ВО движется прямо к месту своего назначения по кратчайшему пути, то есть по большому кругу.

2.Та часть земной поверхности, над которой движутся ВО и ЛА, считается сферой. Так как радиус действия авиации и дальность обнаружения ВО сравнительно невелики, то полученное решение будет незначительно отличаться от решения с учетом истинной формы земной поверхности.

3.Аэродромы взлета и посадки совпадают. Это допущение обеспечивает линейность ограничения по топливу (см. ниже). Кроме того, такая ситуация является наиболее распространенной.

Геометрическая интерпретация задачи представлена на рис. 2.14, где С – точка с координатами ( ц, ц), в которой обнаружен ВО, А – точка ( п, п) – аэродром, на котором дислоцирован ЛА, В – прогнозируемая точка встречи с неизвестными координатами ( у, у).

175