Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011
Рис. 2.14. Геометрия задачи на сфере
Тогда начальное расстояние между ВО и ЛА можно найти по формуле [49]:
R0 Rз arccos(sin( ц )sin( п ) cos( ц )cos( п )cos( ц п )),(2.157)
где Rз – радиус Земли.
При определении угла 0 между вектором скорости ВО и линией визирования возникают некоторые сложности. Обозначим угол OCA в сферическом треугольнике . Тогда
|
|
|
|
R |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin( п ) sin( ц )cos |
|
|
|
|
|
||
arccos |
|
|
Rз |
|
. |
(2.158) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( ц )sin |
|
|
|
|
|
|||
|
Rз |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим ц – курс ВО (угол, отсчитываемый по часовой стрелке от северного направления меридиана к вектору скорости
ВО. Тогда, если 0 ц , то
0 |
ц |
. |
(2.159) |
В противном случае выражение для 0 имеет различный вид в зависимости от взаимного положения ЛА и ВО, а также от соотношений между углами ц и .
176
Учитывая вышесказанное, начальный угол 0 между вектором скорости ВО и линией визирования наиболее просто можно определить следующим образом. Предположим, что в течение некоторого достаточно большого времени TD ВО беспрепятственно продолжит полет. Тогда через указанное время ВО окажется в некоторой точке D (см. рис. 2.14), координаты которой ( D, D) несложно определить, используя формулы сферической геометрии:
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
ц |
T |
D |
|
|
|
|
|
|
v |
ц |
T |
D |
|
|
|
|
|
|||
|
D |
arcsin sin( |
ц |
)cos |
|
|
|
cos( |
ц |
)sin |
|
|
cos( |
ц |
) |
,(2.160) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Rз |
|
|
|
|
|
|
|
Rз |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
ц |
D |
sin( ц ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
D |
|
ц |
arcsin |
|
|
Rз |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(2.161) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( D ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где vц – скорость ВО. Пусть a – расстояние между точками С и D, a b – расстояние между A и D. Тогда угол 0 определяется по формуле
|
cos(b/ R |
з |
) cos(R |
0 |
/ R )cos(a/ R |
з |
) |
|
||
0 |
|
|
|
з |
|
|
(2.162) |
|||
arccos |
sin(R0 / Rз )sin(a/ Rз ) |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Как видим, полученное выражение (2.162) включает в себя параметры a и b, которые зависят от произвольно выбранного времени TD. Однако из рис. 2.14 видно, что a и b взаимосвязаны таким образом, что при любом выборе TD значение 0 остается постоянным. Предложенный способ расчета 0 является математическим приемом, позволяющим упростить вычисления.
Используя формулы сферической геометрии, из треугольника ABC найдем расстояние Sг(Tц), пройденное ЛА с момента взлета до применения оружия, и путь, пройденный ракетой:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
0 |
|
v |
T |
|
|
||||
S |
г |
(T ) R |
з |
arccos cos |
|
|
cos |
|
ц ц |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ц |
|
|
|
|
|
|
Rз |
|
|
|
Rз |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R |
0 |
|
v |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin |
|
|
sin |
|
ц ц |
cos( |
0 |
) , |
|
(2.163) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Rз |
|
|
Rз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
177
где Tц – время перехвата ВО, которое необходимо минимизировать, а R0 и 0 определяются по формулам (2.157) и (2.161) соответственно.
Для поражения цели летательным аппаратом необходимо и достаточно выполнение следующих условий.
Время движения цели Tц и время полета перехватчика Тп совпадают:
Tц Tп . |
(2.164) |
Горизонтальная проекция вертикального профиля полета Sв и расстояние Sг(Tц), пройденное ЛА по дуге большого круга, совпадают:
Sв Sг (Tц ). |
(2.165) |
Оставшиеся два условия тривиальны и определяют остаток топлива и время движения цели соответственно:
Gост 0, |
(2.166) |
Tц 0. |
(2.167) |
Время движения ЛА по участкам вертикального профиля полета равно:
Tп Tпас Tрегл Tвзл Tн1(Hкр ) Tкр Tр Tн2 (Нбал ) |
(2.168) |
Tбал Tсн (Hат ) Tат (D/vрак ), |
|
где Tпас – пассивное время ожидания на аэродроме, которое необходимо определить в ходе решения задачи; Tрегл – регламентное время (время подготовки ЛА к взлету заранее известно, зависит от типа самолета); Tкр – время крейсерского полета, которое необходимо определить в ходе решения задачи; Tбал – время полета на балансном участке, которое необходимо определить в ходе решения задачи.
Введем обозначение
Tсум Tрегл Tвзл Tн1(Hкр ) Tр Tн2 (Нбал )
Tсн (Hат ) Tат (D/vрак );
(2.169)
Tсум – суммарное время движения ЛА на детерминированных уча-
стках.
Тогда с учетом (2.169) условие (2.168) примет вид
178
|
|
Tп Tсум Tпас Tкр Tбал. |
|
|
|
|
(2.170) |
|||||||||
Путь Sв, который преодолевают ЛА при движении по участкам |
||||||||||||||||
вертикального профиля полета, равен: |
Sр |
Sн2(Hбал ) |
|
|
||||||||||||
|
Sв Sвзл Sн1(Hкр ) vкрTкр |
|
(2.171) |
|||||||||||||
|
|
vбалTбал |
Sсн (Hат ) vатTат D. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Sсум Sвзл Sн1(Hкр ) Sр Sн2 (Hбал ) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
Sсн (Hат ) vатTат D , |
|
|
|
|
(2.172) |
||||||||
где Sсум – путь, пройденный ЛА на детерминированных участках, |
||||||||||||||||
перепишем (2.171) следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Sв Sсум |
vкрTкр vбалTбал . |
|
|
|
(2.173) |
|||||||||
Остаток топлива Gост |
после перехвата и привода на аэродром |
|||||||||||||||
рассчитывается по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
G G G |
(H |
кр |
) g T G G |
(H |
бал |
) |
|
||||||||
|
|
зап |
взл |
н1 |
|
|
|
кр |
кр |
р |
н2 |
|
|
|
||
G G |
gбалTбал Gсн(Hат ) gатTат |
Gнпр (Hат) |
|
, (2.174) |
||||||||||||
ост |
|
G |
G |
q (S |
сум |
D v T |
v |
T |
|
|
||||||
|
|
снпр |
пос |
|
пр |
|
|
|
кр кр |
бал бал |
|
|
||||
|
|
|
|
Sнпр (Hат ) Sснпр) |
|
|
|
|
|
|||||||
где G – полный запас топлива; Gзап – запас топлива, учитывающий погрешность расчета времени пути и топлива на детерминированных участках.
Введем обозначение Gсум – топливо, необходимое ЛА для преодоления детерминированных участков:
|
Gзап Gвзл Gн1(Hкр ) Gр Gн2(Hбал ) |
|
|
|
|
|
|
Gсум Gсн (Hат ) gатTат Gнпр (Hат ) Gснпр Gпос |
(2.175) |
||
|
qпр (Sсум D Sнпр(Hат ) Sснпр ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, сгруппировав расход топлива на детерминированных участках, перепишем (2.174) в более простом виде:
Gост (G Gсум ) [(gкр qпрvкр )Tкр (gбал qпрvбал )Tбал ].(2.176)
179
Учитывая вышеизложенное, получаем необходимые и достаточные условия перехвата ВО:
Tц Tсум Tпас Tкр Tбал ; |
(2.177) |
|
Sсум vкрTкр vбалTбал Sг (Tц ); |
(2.178) |
|
Gост (G Gсум ) [(gкр qпрvкр )Tкр (gбал |
qпрvбал )Tбал ];(2.179) |
|
Tц 0, Tпас 0, Tкр 0, Tбал 0, |
Gост 0, |
(2.180) |
где Sг(Tц) = Sв и определяется по формуле (2.173).
2.5.3. Задача определения минимального времени перехвата
Критерием качества, обеспечивающим минимальное время перехвата, является критерий вида
J(Tпас, Tкр, Tбал, Tц, Gост) = –Tц.
Максимум этого критерия, удовлетворяющий условиям (2.177) – (2.180), является искомым минимальным временем перехвата.
Таким образом, определить минимальное время перехвата ВО Tц, оптимальное пассивное время Tпас, оптимальные времена Tкр, Tбал и остаток топлива Gост можно, решив нелинейную задачу условной минимизации: найти
max{J(Tпас,Tкр ,Tбал ,Tц ,Gост ) Tц}
при ограничениях
Tц Tсум Tпас Tкр Tбал; |
|
|||
S |
v T v T |
S (T ); |
|
|
сум |
кр кр |
бал бал |
г ц |
(2.181) |
|
(G Gсум) [(gкр qпрvкр)Tкр (gбал qпрvбал)Tбал]; |
|||
Gост |
|
|||
|
0,Tкр |
0,Tбал 0,Tц 0,Gост 0. |
|
|
Tпас |
|
|||
Для решения исходной задачи (2.181) нелинейного программирования (НЛП) разложим нелинейную функцию Sг(Tц) в ряд Тейлора вблизи некоторой начальной точки Тц0 и, отбросив все члены выше первого порядка, получим следующую задачу линейного программирования (ЛП): найти
max{J(Tпас,Tкр ,Tбал ,Tц ,Gост ) Tц}
180