Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

при ограничениях

(2.184)

Нетрудно убедиться, что при всех значениях Tц вторая производная Sг (Tц ) неотрицательна и Sг (Tц ) 0 , т.е. функция Sг(Tц) вы-

пукла и, следовательно, допустимое множество задачи (2.181) также выпукло.

Решив задачу ЛП (2.182), получим Тц, которое используется как начальное приближение для инициализации следующей задачи ЛП. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока полученное Тц не удовлетворит условию:

где ε – заданная точность (например, = 1 м).

Задача ЛП (2.182) на каждой итерации решается двухэтапным методом (методом искусственного базиса и симплекс-методом).

181

Для этого вводятся искусственные переменные R1, R2 и новая целевая функция r = R1 + R2, которую необходимо минимизировать. Если минимум этой функции равен нулю, то исходная задача имеет допустимое решение. В данном случае вспомогательная задача принимает вид

(2.186)

Первый вариант расстановки знаков соответствует случаюSсум Sг (Tц0) Sг (Tц0 )Tц0 0 , в противном случае используется второй вариант. Варианты расстановки знаков обеспечивают неотрицательность соответствующего свободного члена симплекстаблицы.

Оптимальное базисное решение, полученное на первом этапе, используется в качестве начального базиса при решении задачи ЛП (2.182).

После того, как найдено оптимальное Tц,, несложно найти координаты точки уничтожения ВО ( у, у):

Также несложно определить дальность Rлв и азимут θлв линии визирования, соединяющей аэродром взлета и точку уничтожения цели:

Rлв Rзarccos(sinφаsinφу cosφаcosφуcos (λа λу ));(2.189)

182

2.5.4. Выбор начального приближения

Немаловажным вопросом является правильный выбор начального приближения Tц0. Метод Ньютона в данном случае гарантирует сходимость для любого начального приближения Tц0, удовлетворяющего неравенству [20]:

Sг (Tц0 )Sг (Tц0 ) (Sг (Tц0))2 . (2.191)

Очевидно, что, если в (2.191) подставить (2.173), (2.183) и (2.184), то решить полученное неравенство относительно Tц0 будет крайне затруднительно. Поэтому предлагается воспользоваться результатами решения рассматриваемой задачи при аппроксимации земной поверхности плоскостью.

Остановимся подробнее на методе определения начального приближения.

Пусть в начальный момент времени известны геоцентрические координаты (широта и долгота) аэродрома взлета и ВО. Принимая во внимание допущение о плоской Земле, перейдем от геоцентрической системы координат к ортогональной, связанной с аэродромом. Центр этой системы координат поместим в точку, соответствующую аэродрому взлета, ось Х направим по меридиану на север, ось Y – на восток, перпендикулярно оси Х. Тогда, начальные координаты ВО будут – (xц0, yц0), и начальное расстояние между ВО и ЛА можно рассчитать по формуле:

183

при этом начальный угол 0 между вектором скорости ВО и линией визирования определяется по формуле:

Тогда расстояние Sг(Tц), которое при сферической Земле рассчитывалось по формуле (2.163), можно рассчитать по теореме косинусов:

В остальном постановка задачи и метод ее решения ничем не отличаются от задачи для сферической Земли.

Подставляя в неравенство (2.191) значение Sг (Tц ) , вычислен-

ное по формуле (2.194), и соответствующие этой формуле производные Sг (Tц ) и Sг (Tц0), получим решение неравенства (2.191):

которое используется в качестве начального приближения для задачи (2.179) с учетом сферичности Земли.

2.5.5. Тестовые примеры задач перехвата по минимальному углублению цели

Рассмотрим тестовый пример для задачи «Перехват по минимальному углублению цели», алгоритм решения которой изложен ранее.

В качестве примера выбран некоторый гипотетический ВО, который летит на высоте 10 км, со скоростью 300 м/c и курсом 90 град., также выбран некоторый гипотетический тип ЛА. Результаты решения задачи перехвата цели по минимальному углублению в зависимости от начальных значений R0 и 0 представлены в табл. 2.7.

На рис. 2.15 схематично представлены взаимные положения аэродрома, на котором базируется истребитель, и цели в начальный момент для некоторых ситуаций, приведенных в таблице (цифры на рисунке соответствуют номерам строк таблицы).

184

В ситуациях 1-14 ЛА успевает перехватить ВО в передней полусфере атаки до того, как ВО попадает в «запретный цилиндр».

Sсум

Рис. 2.15. Взаимное положение аэродрома взлета и ВО в начальный момент времени

185