Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Известно [40], что импульсная переходная функция k(t, ) линейной стационарной динамической системы при M(S, ) 1 совпадает с функцией Грина и равна:

				k(t, ) G(t, ),																		(2.216)
где
				1	(t)						2	(t)			...				n	(t)
	( 1)n 1			1							2								n
G(t, )	( 1)n 1		1( )							2 ( )					...			n ( )				; (2.217)
		det	1( )							2 ( )					...			n ( )
	( )	det
	( )
			(n 2)			( )				(n 2)			( ) ...					(n 2)
			1			( )				1			( ) ...					1			( )
( ) – определитель Вронского:
							1	( )			...				n	( )
							1								n
					1( )						...			n ( )								(2.218)
	( ) det						...				...				...			,				(2.218)
							...				...				...
						(n 1)								(n 1)
						(n 1)			( ) ...					(n 1)
			1						( ) ...					1			( )

1( ),..., 2 ( ) – фундаментальное решение однородного дифференциального уравнения:

an (t)	dn y(t)	an 1	(t)	dn 1y(t)	... a0	(t)y(t) 0	. (2.219)
	dtn			dtn 1

2.6.2. Корреляционная функция формирующего фильтра второго порядка

Используя свойства корреляционной функции формирующего фильтра, полученные в п. 2.6.1, найдем в явном виде выражение для корреляционной функции случайного процесса на выходе стационарного формирующего фильтра второго порядка при

M(S, ) 1.

Вэтом случае уравнение формирующего фильтра имеет вид

d2		d
	y(t) a		y(t) a		y(t) (t).	(2.220)
dt2
	1	dt		0

191

На основании свойства (2.212) корреляционная функция слу-

чайного процесса

y(t)

на выходе формирующего фильтра (2.220)

удовлетворяет уравнению

(t ,t

) a

) 0;

1 dt1

Пусть 1, 2 – корни характеристического уравнения

a a

0 ;

(2.221)

1,2

Тогда фундаментальное решение будет иметь вид:

1) действительные корни характеристического уравнения

1(t) e 1t ;

2 (t) e 2t

;

(2.222)

2) кратные корни характеристического уравнения

1(t) e t;

2(t) te t ;

(2.223)

3) комплексные корни характеристического уравнения

1,2(t) e 1t (cos j sin j ) .

(2.224)

Получим значение корреляционной функции для каждого вида корней характеристического уравнения.

1. Случай действительных корней. В этом случае согласно со-

отношениям (2.217) и (2.218) определитель Вронского и импульсная переходная функция будут иметь вид

( )				e 1				e 2		e	(				)	( 2	1);		(2.225)
( )			1e 2				2e 1			e		1		2		( 2	1);		(2.225)
			1e 2				2e 1
G(t, )			1						e 1t	e 2t			e 1 (t ) e 2 (t )						k(t, ).
			1						e 1t	e 2t			e 1 (t ) e 2 (t )
	e	(	)	(		)
	e	1 2		(	2	)			e 1	e 2								2
					2		1									1		2

(2.226)

Подставляя в формулу (2.207а) выражение для импульсной переходной функции (2.226) и учитывая, что для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит только от разности моментов времени t , получим

Kу ( t)	[ 2 exp ( 1 t) 1 exp ( 2 t)]	.	(2.227)

	2a1a0( 2 1)

192

2. Случай кратных корней. Для случая кратных корней определитель Вронского и импульсная переходная функция будут иметь вид

( )

e2 ;

(2.228)

e (1 )

G(t, )

e t

te t

e (t ) (t )

(t )e (t ) k(t, ).

Соответствующая корреляционная функция будет равна

(2.229)

Kу ( t) exp ( t)

(2.230)

2a a

3. Случай комплексно-сопряженных корней. Определитель Вронского, импульсная переходная функция и корреляционная функция будут иметь вид соответственно

( )

a (cos jsin )

(cos jsin )

jsin ) a

( j)(cos jsin )

( j)(cos

2 j e2 ;

(2.231)

G(t, )

e (cos t jsin t)

2j e2

e (cos jsin )

e (t ) sin ( (t ))

;

(2.232)

( t)

Kу

( t) e

cos ( t)

sin ( t) . (2.233)

0 1

Нетрудно показать, что вне зависимости от вида корней характеристического уравнения дисперсия стационарного случайного процесса y(t)на выходе формирующего фильтра будет одинако-

вой:

Ky (0) 2y	1		.	(2.234)
	2a a	0
	1

193

2.6.3. Задача идентификации коэффициентов формирующего фильтра как задача нелинейного программирования

Как правило, для моделирования случайных процессов используются стационарные формирующие фильтры вида (2.220). При этом возникает задача идентификации коэффициентов формирующего фильтра, на выходе которого наблюдается стационарный случайный процесс y(t), корреляционная функция Ky ( t) которого

близка корреляционной функции K( t) моделируемого случайного процесса.

Вкачестве меры близости корреляционных функций истинного

имодельного случайных процессов выбран квадратичный критерий вида


	J(a0,a1) (K( ) Ky (a0,a1, ))2 d .	(2.235)
	0
На	практике корреляционная функция истинного процесса
K( t)	задается в виде таблиц или графиков. В этом случае инте-

гральный критерий (2.235) удобно заменить суммой квадратов невязок между корреляционными функциями истинного и модельного процессов:

N
J(a0,a1) (K(i) Ky (a0,a1,i))2 .	(2.236)

i 1

Очевидно, что вид критерия (2.236) зависит от типа корней характеристического уравнения 1 и 2 , определяемых по формуле

(2.221):

1) действительные корни

T 2

2 exp

1 exp

J(a

,a )

;

2a a

(

)

зад

i 0

(2.237)

194

2) кратные корни

J(a0,a1)

Kзад i

exp

;

2a a

i 0

2a a

3) комплексно-сопряженные корни

( ti)

J(a0,a1)

Kзад

cos i

2a0a1

i 0

sin

(2.238)

(2.239)

где N,T – общее число точек и полный интервал времени вычисления корреляционной функции; , – действительная и мнимая

части корней характеристического уравнения.

Ясно, что задача минимизации критерия (2.236) является задачей нелинейного программирования без ограничений. Методы решения таких задач подробно описаны выше.

В конкретном случае данная задача нелинейного программирования решается двумя методами:

методом Ньютона – Гаусса; методом покоординатного спуска с одномерной минимизацией

по каждой координате.

Ниже приведены алгоритмы решения задачи этими методами.

2.6.3.1. Алгоритм решения задачи методом Ньютона – Гаусса

Метод Ньютона – Гаусса предназначен для решения задач нелинейного программирования с квадратичным критерием вида (2.236) [56], [3].

В основе данного метода лежит линеаризация нелинейной функции Ky (a0,a1,i) относительно оценок параметров на преды-

дущем шаге итерационного процесса. Основная итерационная формула имеет вид

195

Источник: https://studfile.net/preview/16708738/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)