Материал: Бородакий Нелинейное программирование в современных задачах оптимизации 2011
|
|
cˆ |
( j) |
cˆ |
( j 1) ( т ( j) ( j)) 1 т ( j) |
e |
( j) , |
(2.240) |
|
|
a0 |
( j) |
|
|
|
|
|
где |
cˆ |
( j) a |
(j) |
– вектор оцениваемых коэффициентов на j -м |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
шаге итерационного процесса; ( j) – матрица производных, вы-
численная в точке оценки на предыдущем шаге итерационного процесса:
|
K (a ,a ,1) |
||||
|
у |
0 |
1 |
|
|
|
a0 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
... |
|
|
|
(j) |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
||
K (a ,a ,N) |
|||||
|
у |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
K (a ,a ,1) |
|
|
|
|||
|
у |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
. |
(2.241) |
|
|
... |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
K (a ,a ,N) |
|
|
|||||
|
у |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a0 a0(j 1), |
|
|
|
|
1 |
|
|
a a (j 1) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
В формулах (2.240), (2.241) использованы следующие обозначения:
– e( j) – вектор невязок между истинным значением корреляционной функции K(i) и корреляционной функцией Ky (a0 ( j 1);
– a1( j 1),i), соответствующей случайному процессу на выходе формирующего фильтра на ( j 1)-м шаге итерационного процесса:
|
K(1) |
Ky (a0 |
( j 1),a1 |
( j 1),1) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.242) |
e( j) |
K |
|
(a |
|
. |
|||
|
K(1) |
y |
0 |
( j 1),a |
( j 1),1) |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
||
На рис. 2.16 приведена структурная схема решения задачи методом Ньютона – Гаусса.
Забегая вперед, можно отметить, что использование метода Ньютона – Гаусса обеспечивает очень быструю сходимость критерия к нулю (за две – три итерации) при задании начальных приближений вблизи точки оптимума. В противном случае, может наблюдаться расходимость итерационного процесса.
196
Рис. 2.16. Алгоритм решения задачи, метод Ньютона – Гаусса
197
Учитывая это, можно предложить следующий способ задания начальных приближений.
Воспользуемся формулой расчета дисперсии случайного процесса на выходе формирующего фильтра (2.234). Допуская, что дисперсия модельного и истинного процесса совпадают, выразим начальное приближение коэффициента a0(0) как функцию на-
чального приближения коэффициента a1(0) и значения дисперсии исходного процесса.
a0(0) |
1 |
, |
(2.243) |
2a (0) 2 |
|||
|
1 |
|
|
где 2 – значение дисперсии исходного процесса.
Пусть значения корреляционной функции исходного процесса и корреляционной функции модельного процесса также совпадают
на конце интервала расчета tf корреляционных функций, т.е. (2.244)
Здесь K(tf ) , K y(t f ) – заданная и модельная корреляционные
функции, соответственно.
Учитывая (2.243), запишем значение корней характеристического уравнения (2.221), как функции одного параметра a1(0) :
1) действительные корни характеристического уравнения:
|
|
|
a |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a K(0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1,2(a1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
D > 0; |
(2.245) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) кратные корни характеристического уравнения: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
(a ) |
2 |
|
|
a1 |
, |
D = 0; |
(2.246) |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) комплексно-сопряженные корни |
характеристического урав- |
||||||||||||||||||||||||
нения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
a K(0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1,2(a1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
D < 0; |
|
||||||||||
|
a1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(a ) |
|
; |
|
(a ) |
|
|
|
|
|
|
a2 . |
(2.247) |
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a K(0) |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
198
Подставляя (2.245) – (2.247) в формулы расчета корреляционных функций (2.227), (2.230), (2.233) при t tf и принимая во
внимание (2.244), для различных типов корней характеристическо-
го уравнения получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1) |
для действительных корней характеристического уравнения: |
|||||||||||||||||||||
|
K(tf |
) K(0) |
[ 2(a1)exp ( 1(a1)t1) 1(a1)exp ( 2(a1)t1)] |
0 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2(a1) 1(a1)) |
|
|
|
|
|
|
(2.248) |
||||||
2) |
для кратных корней характеристического уравнения: |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
K(tf ) K(0)exp ( (a1)t f |
)(1 (a1)tf |
) 0; |
(2.249) |
|||||||||||||||
3) |
для |
комплексно-сопряженных |
корней |
характеристического |
||||||||||||||||||
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
K(t |
|
) K(0)e |
(a )t |
|
|
cos( (a )t |
|
) |
(a ) |
sin ( (a )t |
|
) |
|
0. |
(2.250) |
|||||||
f |
1 |
f |
|
f |
|
1 |
f |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(a1) |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разрешая уравнения (2.248) – (2.250) относительно a1(0) (a0(0) определяется по формуле (2.243)), получим значения a1(0), a0(0),
которые могут быть использованы в качестве начальных приближений.
2.6.3.2. Алгоритм решения задачи методом покоординатного спуска
Как было отмечено в п. 2.6.3.1, метод Ньютона – Гаусса оказывается чувствителен к заданию начальных приближений. Неудачное задание начальных приближений часто приводит к расхождению итерационного процесса.
Вэтой связи методом, более устойчивым к выбору начальных приближений, является метод покоординатного спуска, подробно рассмотренный в гл. 1.
На рис. 2.17 приведена структурная схема решения задачи определения коэффициентов формирующего фильтра с использованием этого метода.
Вкачестве метода одномерной оптимизации при нахождении точки экстремума по каждой координате используется метод «золотого сечения», также рассмотренный в гл. 1.
199
Рис. 2.17. Блок-схема алгоритма метода покоординатного спуска (один цикл)
200