Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

0, тогда 0,

что a,b и a,b , удовлетворяющих

, выполняется неравенство

f f

.

x

i k

b a

f x ;

Пусть

i

,

причем

; x x x

; m inf

i 0

i

i

i 1

i

xi 1 ,xi

x ,

f x непрерывна, то

Mi

sup f

i 1, k. Т.к.

xi 1 ,xi

i xi 1, xi

и i xi 1, xi ,

что f

m ;

f

M

i

, причем

i

x

i

i

i

i

i

f i f i

f i f i

.

b a

На основании этого запишем

k

k

k

0 S s

M

i

m

x

f

f

x

x ,

i

i

i

i

i

b

i

i 1

i 1

a i 1

т.е. lim S s 0.

■

0

Теорема. Функция, определенная и монотонная на отрезке a,b ,

интегрируема на этом отрезке.

□ Пусть для определенности

f x возрастает монотонно, т.е.

f a f x f b ,

a x b,

т.е.

f x ограниченная. Для : x i ii 0k

имеем

mi f xi 1 , Mi

f xi , i

,

1,k

b

b

f x dx g x dx.

a

a

(Без доказательства)

8. Если

f x интегрируема на a,b , то

a

b

a

f x dx 0,

f x dx f x dx.

a

a

b

(Без доказательства)

9. Если

f x интегрируема на a,b , то

f x

интегрируема и

b

b

f x dx

f x

dx,

a b.

a

a

(Без доказательства)

Замечание. Доказательство

приведенных свойств изложено

Теорема. Пусть:

1) f x и g x интегрируемы на a,b ;

2) m f x M ,

x a,b ;

3) g x не меняет знака на a,b , тогда , что

m M и

b

b

f x g x dx g x dx.

a

a

□ Умножим неравенство m f x M

на g x :

при g x 0

mg x f x g x

M g x ;

при g x 0

mg x f x g x

M g x .

b

b

b

m g

x dx f x g x dx M g x dx;

a

a

a

b

b

b

m g x dx f x g x dx M g x dx.

a

a

a

b

При g x dx 0

доказательство .

a

b

Рассмотрим случай g x

dx 0 :

a

b

b

если g x 0, то g x dx 0; если g x 0, то g x dx 0.

a

a

b

Производя деление неравенств на g x dx, получим

в обоих

a

случаях

b

x g x dx

f

m

a

M ,

b

g x dx

a

b

f x g x dx

тогда, полагая

a

.

■

b

g x dx

a

тельном предположении непрерывности

f x

a,b , что

b

b

f x g x dx f g x dx,

a

a

в частности при g x 1

b

f x dx f b a .