Материал: Дифференциальное и интегральное исчисления. учебное пособие. Ряжских В.И., Ряжских А.В

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x0 обозначается:

8.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

8.1.Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть y f x , x a,b . Проделаем следующие операции:

– x a,b	дадим приращение	x : x	x a,b ;
– найдем	соответствующие		приращение	функции
y f x x f x ;

–составим отношение приращения функции к приращению аргумента: y x;

–найдем этот предел при x 0, т.е. lim y .

x 0 x

Если этот предел существует, то его называют производной функции y f x и обозначают


fx ; f	x ; dy dx; yx .
Определение. Производной функции y f x в точке x0 назы-
вается	f x0 x f x0
y lim		.

x 0	x

Определение. y f x , имеющая производную в каждой точке

a,b , называется дифференцируемой в этом интервале.

Значение производной y f x в точке

	f x0 ,	y	x x0 ,			y x0 .


Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки,
которая за время t	проходит путь S,					тогда средняя скорость точки
есть
	V			S	.
	V				.
	ср			t
				t

Значение Vср будет вычисляться тем точнее, чем меньше t, т.е. получим скорость в точке, если t 0. Т.о.

Vlim S .

t 0 t

Механический смысл производной есть скорость движения материальной точки.

Рассмотрим некоторую кривую L на плоскости, описываемую y f x . Возьмем произвольную точку M L, тогда угловой коэф-

фициент секущей, проходящей через эту точку, есть
k		tg	y		f x x f x		.
	сек
			x		x

Если x 0, то секущая стремится к касательной к кривой L
в точке М, т.е.				f x x f x
		k lim				.

		x 0			x

Геометрический смысл производной есть угловой коэффици-

ент касательной, проведенной в данной точке к графику функции. Т.о. можно записать уравнение касательной в точке M x0 , y0 ,

где y0 f x0 , т.е.

y y0 f x0 x x0 ,

аналогичным образом можно записать уравнение нормали к графику функции в точке M x0 , y0

y y0	1	x x0 .

	f x0

8.2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

□ f x дифференцируема в некоторой точке x означает, что

	lim	y	f x ,
	x 0	x
отсюда следует, что
y	x x ,			где x – б.м.ф.,
x f
x f
			27

тогда

y f x x x x,
т.е. это означает, что
lim y 0.		■
x 0
Обратное утверждение неверно! Контрпример: y	x	в точке
Обратное утверждение неверно! Контрпример: y	x	в точке
x 0.
Определение. Если y f x имеет непрерывную	y f x

в a,b , то f x называется гладкой.

8.3. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть u u x и v v x

дифференцируемы в a,b .

Теорема. u v

v .

□ Обозначим y u v, тогда

u x x

v x x

x v x

y lim

x 0

lim

x x

u x

x x v x

x 0

lim

■

v .

x 0

Теорема. u v

u v

uv .

□ Пусть y uv, тогда

y lim

lim

u x x v x x u x v x

x 0

u x u

v x v u

x v x

lim

x 0

lim	v x u x u x v v x u u v u x v x

x 0			x
				v
	lim v x u		u x		v	u
				x
	x 0	x				x

v x lim

u x lim

lim v lim

u v uv .

x 0

u v

, v 0.

Теорема.

□ Пусть y

, тогда

u x x

u x

u x u

u x

y lim

v x x

v x

lim

v x v

v x

x 0

lim

u x v x v x u u x v x u x v

x 0

x v

v v x

u u

v u u v

lim

x v2 v v

x 0

v2 v v

v lim

u lim

x u v uv

x 0

v2 v lim v

x 0

8.4. Производная сложной и обратной функции

■

□ Из того, что lim

или y yu u u.

u 0

Из того, что

lim

x x,

x 0 x

тогда

x x

y yu

x x ux

т.е.

y yuux x yu x ux x x

или

yuux yu ux ,

откуда

■

ux .

Теорема.

Если

функция

y f x строго

монотонна

на

интервале

a,b , причем

f x 0, x a,b ,

то

обратная

ей

функция

x y

также

имеет

производную

f x

соответствующей точке, определяемую равенством

или

□

, т.е. обратная функция тоже монотонна и непрерывна,

и, в силу ее монотонности, ее приращение не равно нулю.

Если y 0, то x 0 и

lim x lim

, т.е. xy

■

y 0

x 0

lim

x 0

Источник: https://studfile.net/preview/16568692/

Пусть y f u

Теорема. yx




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27