Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

линейному уравнению относительно функции z(x), не содержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая z'(х) = u(х), получаем линейное однородное уравнение порядка n-1 относительно функции u(х). Однако общих методов отыскания частных решений линейных однородных уравнений с коэффициентами, зависящими от переменной х, нет.

Система функций у1(х),у2(х),...,уn(х) линейно независима на интервале (а,b), если определитель Вронского этой системы

y1 (x), y2 (x),..., yn (x) y1 (x), y2 (x),..., yn (x)

W(x)= .......... .......... .......... ....

y1n 1 (x),..., ynn 1 (x)

отличен от нуля хотя бы в одной точке х (а,b).

Всякая система из n линейно независимых решений y1 (x), y2 (x),..., yn (x) называется фундаментальной

системой решений этого уравнения. Если известна фундаментальная система решений уравнения, то общее решение этого уравнения имеет вид

Y00 (x) C1 y1 (x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x),

где С1, С2,...,Сn- произвольные постоянные.

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

y″ + a (x)y' + a2(x)y = f(x) (3.1)

и некоторого частного решения у* неоднородного уравнения:

Пусть y° = c1y1(x) + c2y2(х) — общее решение уравнения (3.2). Заменим в общем решении постоянные

c1 и c2 неизвестными функциями c1(x) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция

y* = с1(х)у1(х) + с2(х)у2(х)

(3.4)

была решением уравнения (3.1). Найдем производную

(y*)' = с1´(х) у1(х) + с1(х)у1'(х) + с2'(х)у2(х + с2(х)у2'(х)

Подберем функции c1(x) и с2(х) так, чтобы

Тогда

(y*)' = с1(х)у1'(х) + с2(х)у2'(х),

(y*)″ = с1´(х)у1'(х) + с1(х) у1″(х) + с2'(х)у2'(х) + с2(х)у2″(х).

Подставляя выражение для у*, (у*)' и (у*)" в уравнение (3.1), получим:

с1´(х)у1'(х) + с1(х) у1″(х) + с2'(х)у2'(х) + с2(х)у2″(х) +

+a (x)[с1(х)у1'(х) + с2(х)у2'(х)] +

+а2(x)[ с1(х)у1(х) + с2(х)у2(х)] =f(x)

или

с1(х)[ у1″(х) + a (x) у1'(х) + а2(x) у1(х)] + с2(х)[ у2″(х) + a (x) у2'(х) +

а2(x) у2(х)] + с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x).

Поскольку у1(х) и у2(х) — решения уравнения (3.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x) (3.6)

Таким образом, функция (3..4) будет частным решением у* уравнения (3.1), если функции c1(x) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (3..5) и (3.6):

c1´(х)у1(х) + с2'(х)у2(х) = 0, с1´(х)у1'(х) + с2'(х)у2'(х) = f(x)

(3.7)

Определитель данной системы не равен нулю, так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений у1(х) и у2(х) уравнения (3.3).

Поэтому система (3.7) имеет единственное решение: с1´(х) = φ (x) и с2'(х) = φ2(x), где φ (x) и φ2(х) —

некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим с1(х) и с2(х), а затем по формуле (3.4) составляем частное решение уравнения (3.1).

где C1 (x) и C2 (x) – неизвестные функции от x. Для их нахождения составим систему:

Подставляя выражения C1(x) и C2(x) в (А), получим общий интеграл данного уравнения

исходного неоднородного уравнения.

2.4. Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

y′′+ py′ + qy = 0 (4.1)

где p и q постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (4.1) в

Л. Эйлером. Дифференцируя функцию два раза и подставляя выражения для у, y′, y′′ в уравнение (4.1), получим

к2exk + ркexk + qexk = 0,

exk(к2 + рк + q) = 0 или к2 + рк + q = 0 (exk ≠ 0)

(4.2)