Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

то порядок уравнения можно понизить заменой

переменных

y (k ) (x)

P(x).

Тогда

уравнение

F (x, y, y , y ,..., y (n) )

0

примет вид

 

 

 

F (x, p, p ,..., p (n k ) )

0.

 

Из этого уравнения,

если это возможно,

определяем

p f (x, C1 , C2 ,..., Cn k ) , а затем находим y из уравнения y(k ) f (x,C1 ,C2 ,..., Cn k ) k-кратным интегрированием.

Если уравнение не содержит независимого переменного

F ( y, y , y ,..., y (n) )

0.

то подстановка y p позволяет

понизить порядок

уравнения на единицу. При этом p рассматривается как новая неизвестная функция от y: p = p(y). Выражаем все

производные

y , y ,..., y (n) через производные от новой

неизвестной функции p по y:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

dy

p,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

dp

 

 

 

dp dy

 

p

dp

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

dy dx

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

d

p

dp

 

d

p

dp

 

dy

 

 

p

2

 

d 2 p

p

dp

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т. д.

dx

dy

 

dy

 

dy

 

dx

 

 

 

 

dy2

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив эти выражения вместо

y , y ,..., y (n) в

уравнение, получим дифференциальное уравнение (n–1)- го порядка.

Пример 1. Решить уравнение

 

 

 

 

y

2 y3 , y |x 0

1, y |x 0

1.

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

2y3 , откуда p2 = y4

 

 

dy

 

 

 

 

 

p

 

+ C1

или

 

 

y 4 C1 .

dy

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделяя

переменные,

приходим

к

интегралу

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y 4 C ) 2 dy.

Это

интеграл

от

дифференциального

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бинома. Здесь

m

= 0,

n

=

4,

p

1

, т. е.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

неинтегрируемый случай.

Следовательно, этот интеграл не выражается в виде конечной комбинации элементарных функций. Однако, если использовать начальные условия, то

получим C1

= 0. Так что

dy

y 2

, откуда, учитывая

 

dx

 

 

 

 

 

начальные

условия,

окончательно

находим

1

y 1 x .

Рассмотрим примеры на различные случаи понижения порядка дифференциального уравнения.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y

sin x cos x.

Р е ш е н и е. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем

y

cos x

sin x

 

C1 ,

 

 

 

 

y

sin x

cos x

C1 x

C2 ,

 

 

y

cos x sin x C

 

x 2

C

x

C

.

 

 

 

 

 

 

1

2

 

2

 

3

 

Пример 3. Решить уравнение

y1 ( y)2 .

Р е ш е н и е. Данное уравнение не содержит искомой функции y и еѐ производной, поэтому полагаем yp . После этого уравнение примет вид.

dp

 

 

 

1 p2 .

 

dx

 

 

 

Разделяя переменные и интегрируя, получим

 

e

x C1

e

( x C1 )

p

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Заменяя p через y, получим

 

e

x C1

e

( x C1 )

y

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Интегрируя последовательно, будем иметь

 

 

 

 

 

 

e

x

C1

e

( x C1 )

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x C1

e

( x C1 )

 

 

 

 

 

 

 

и

y

 

 

 

 

 

C2 x

C3

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y sh(x C1 )

C2 x C3 .

 

Пример 4. Решить уравнение

y y 2 2e y .

Р е ш е н и е. Уравнение не содержит независимого

переменного x, поэтому

полагая

y

 

 

 

 

p,

y

p

dp

в

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

данном уравнении, мы получим уравнение Бернулли

 

 

 

 

p

dp

 

 

p2

 

2e y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановкой

 

p2=z

 

 

оно сводится

к

линейному

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

2z

4e y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя

метод

 

 

 

 

вариации

произвольной

постоянной, получим общее решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4e y

C e 2 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Заменяя z через p 2

 

y 2

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4e y

 

C e 2 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

C

2

 

 

 

 

 

4e y

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

.

 

e y

C

 

 

 

(x

 

C

2

)2 , где

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это есть общий интеграл данного уравнения.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

xy’’’+y’’=1

dxdz ,

Р е ш е н и е. Данное уравнение не содержит y и y’. Положим y’’=z, тогда y

и уравнение примет вид:

x dxdz z 1

Это линейное уравнение первого порядка.

Его общее решение :

z

1

 

c

.

 

 

 

 

 

 

 

x

Следовательно,

y

1

c

.

 

 

 

 

x

Проинтегрировав это равенство два раза , получим

 

x2

y

 

C(x ln x x) Bx A .

2

 

 

2.3. Линейные уравнения высших порядков.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение линейно. Линейное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид

y(n) a1 (x)y(n 1) ... a n (x)y f(x) .

Уравнение называется однородным, если f(x) 0, если f(x) 0,то уравнение называется неоднородным. Всякое решение линейного уравнения является частным, особых решений линейное уравнение не имеет.

Линейная комбинация решений однородного линейного уравнения является также решением однородного линейного уравнения. Если известно какоелибо частное решение у1(х) однородного уравнения, то подстановка у(х)=у1(х)z(х) приводит это уравнение к

Источник: https://studfile.net/preview/16565560/

Смотрите также:

2731
imunnaya_s-ma1
Reyting_1_testy_vnachale
Алгоритм работы отдела транспортной логистики производственного предприятия
Анализ заболеваемости детского населения Омской области при обращении по поводу травм
Аналитическая геометрия
Безопасность жизнедеятельности человека при пожарах
Бим-моделирование в программе Ренга
Естественные основания морали в свете современных научных исследований
Жанр містерії в п'єсі Томаса Стернса Еліота 'Вбивство в соборі'