Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Геометрически общее решение представляет собой однопараметрического семейство прямых y Cx C1 , а

особый интеграл параболу.

Рис.4

Непосредственно из чертежа видно, что особый интеграл (парабола) оказался геометрически огибающей семейства интегральных линий (прямых), определяемых общим решением. Это свойство не случайно.

Возможность существования особых решений связана с нарушением условий теоремы Коши. Как мы знаем, выполнение этих условий гарантирует существование и единственность решений – не может быть двух различных решений, удовлетворяющих одному тому же начальному условию. Были рассмотрены случаи, когда эти условия нарушались только в отдельных особых точках. Между тем условия единственности могут нарушаться во всех точках некоторой линии, которая сама может оказаться решением уравнения. Это решение и называют особым.

Пример 6: Уравнение Клеро.

В самом деле, из этих уравнений находим, что

dx ( p)dp ,

dy

откуда p . dx

Подстановка в уравнение Клеро приводит к тождеству

следовательно, не может быть общим интегралом. Он не может быть также получен их общего не при каких значениях С, так как не является линейной функцией. Это так называемый особый интеграл.

2.Дифференциальные уравнения высших порядков

2.1.Основные понятия и определения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в виде

F(x,y,y',y",...,y(n)) = 0.

(1.1)

Задачей Коши для дифференциального уравнения (1.1) называется задача отыскания решения у=у(х), удовлетворяющего начальным условиям

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y10 , y (x0 ) y02 ,..., y(n 1) (x0 ) y0n 1.

(1.2)

Пусть уравнение (1.1) разрешимо относительно старшей производной

y(n) f(x, y, y ,..., y(n 1) ),

(1.3)

тогда для него справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема. Если функция в

некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные,

решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (1.2) найдутся постоянные, определяемые из системы уравнений:

Для уравнения порядка n 2 частное решение может быть задано с помощью условий не в одной точке, а в