уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением ДУ (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить y′′, y′, y соответственно на к2, к,
1).
При решении характеристического уравнения (4.2)
возможны следующие три случая: |
|
|
1 случай: |
|
|
Корни к1 и к2 уравнения (4.2 ) |
действительные и |
|
различные к1≠ к2 (D = p2/4 – q > 0). |
|
|
В этом случае частными решениями уравнениями |
||
уравнения (4.1) являются функции у1 |
= ек1х и |
у2 = ек2х. |
Они образуют фундаментальную |
систему |
решений |
(линейно не зависимо), т.к их вронскиан
W(x) = k2e(k1 + k2)x – k1e(k1 + k2)x = e(k1+k2)x( к2 – к1) ≠ 0.
Следовательно, общее решение уравнение (4.1) имеет вид
у = с1ек1х + с2eк2х . ( 4.3)
Случай 2:
Корни к1 и к2 характеристического уравнения (1.2) действительные и равные. (D = p2/4 – q = 0, k1 = k2 = - p / 2)
В этом случае имеем лишь одно частное решение у1 =
ек1х
Покажем, что на ряду с у1 решением уравнения (4.1) будет и
у2 = хек1х
Действительно, подставим функцию у2 в уравнение (4.1) получим
y′′+ py′ + qy = ек1х(х(к21 + рк1 +q) + (р +2к))
Но k21 + pk1 + q = 0, т. к. k1 есть корень уравнения
(4.2); р + 2k1 = 0, так как по условию k1 = k2 = - p/ 2 . |
|
|
Поэтому y′′2+ py′2 + qy2 = 0, т. е. функция у2 |
= xek1x |
|
является решением уравнения (4.1). |
|
|
Частные решения у1 = ek 1 x и у2 = xek1x образуют |
||
фундаментальную систему решений: W(x) |
≠ |
0. |
Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (2.1) имеет вид
у = с1ек1х + xс2eк2х
(4.4)
Случай 3. Корни k1 и k2 уравнения |
( 4.2) |
комплексные:
k1 = α + βi k2 = α -βi.
В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции у1 = e(α+iβ)x и у2 = е(α - iβ)x. По формулам
Эйлера
eφi = cos φ + isinφ, e-iφ = cosφ - isinφ
имеем
У1 = e(α+iβ)x = eαxcosφ+ isinφeαx
у2 = е(α - iβ)x = eαxcosφ - isinφeαx
Найдем два действительных частных решения уравнения (4.1). Для этого составим две линейные комбинации решений y1 и у2:
(У1 + у2)/2 = eαxcosβφ = y1* ; (У1 – у2)/2i = sinφeαx = y2*
Функции y1* и y2* являются решениями уравнения (4.1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти решения образуют фундаментальную систему решений, так как W(х) ≠ 0. Поэтому общее решение уравнения (4.1) запишется в виде
у = eαx (с1 cosβx + c2 sinβx) (4.5)
Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (n >2) с постоянными коэффициентами
yn + p1y(n-1) + p2y(n-2) +…+pny = 0
(4.6)
где рi, i = 1,…,n, — числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.
Частные решения уравнения (4.6) также ищем в виде у = ekx, где k -постоянное число.
Характеристическим для уравнения (4.6) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида уравнение n-го порядка вида
kn + p1k(n-1) + p2k(n-2) + …+ pn = 0.
(4.7)
Уравнение (4.7) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть комплексные). Обозначим их через k1,
k2, ….,kn
1 случай: Корни k1, k2, ….,kn 2 уравнения (4.7 ) действительные и различные.
В этом случае частными решениями уравнениями уравнения (4.1) являются функции у1 = ек1х , у2 = ек2х,…
уn = екnх Они образуют фундаментальную систему решений (линейно не зависимы).
Следовательно, общее решение уравнение (4.7) имеет вид
|
у = с1ек1х + с2eк2х + …+. с nекnх |
||
Случай 2: Корни к1 и к2 |
характеристического |
||
уравнения |
действительные, но не все простые. Тогда |
||
каждому |
простому корню соответствует одно решение, |
||
а каждому корню |
k кратности |
m соответствует m |
|
частных решений вида |
|
||
у1 = екх, |
у2 = хекх |
,…, уm = хm-1 екх |
|
Пример 1. Решить уравнение
y'v - у'" — Зу" + 5у' — 2у = 0.
Решение: Характеристическое уравнение
k4 - k3 - 3k2 + 5k - 2 = (k + 2)(k - 1)3 = 0
имеет корни k1 = - 2, k2 = 1, k3 = 1, k4 = 1. Следовательно,
у= c1e-2x + c2ex + c3x ex + c4x2ex
—общее решение уравнения.
Случай 3. Среди корней уравнения (2.7) есть комплексно -сопряженные корни. Тогда каждой паре a±βi простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения еαxcosβx и еαxsinβx, а каждой паре а
± βi корней кратности т > 1 соответствуют 2т частных решений вида
eαxcosβφ, xeαxcosβφ,…, xm-1eαxcosβφ
eαxsinβφ, xeαxsinβφ,…, xm-1eαxsinβφ
Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.
2.5.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью.
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
y′′+py′+qy |
= |
f(x) |
, |
(5.1)
где р и q — некоторые числа.
Будем искать общее решение уравнения (5.1) как сумму общего решения у соответствующего однородного уравнения и частного решения у' неоднородного уравнения. Частное решение уравнения (5.1) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.
Для уравнений с постоянными коэффициентами (5.1) существует более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) уравнения (5.1) имеет так называемый «специальный вид»:
1.f(x) = Pneαx
2.f(x) = eαx(Рn(х) cosβx + Qm(x)sinβx).
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5.1) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.1) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.