Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

исследование позволяет нам приближенно построить семейство интегральных кривых уравнения (рис. 3).

Рис.3

Рассмотрим простейшие и наиболее распространенные в приложениях случаи, когда уравнение (3.1) интегрируемо в квадратурах.

1.4. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения 1-го порядка, допускающие представление в виде

dxdt = f(x)g(t)

называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

	dx	g(t)d(t) C.

	f(x)
	f(x)

К уравнениям с разделяющимися переменными могут быть приведены и уравнения вида

dxdt = f(at + bx).

Вводя замену z=at+bx, получим

	dz	dx.

	a bf(z)
	a bf(z)

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

dx kx, dt

(4.2)

часто принимаемое в первом приближении при исследовании различных процессов. Уравнение выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна самой функции. При k>0 уравнение (4.2) описывает процесс размножения бактерий в

питательной среде - закон органического роста, характерный для всевозможных цепных реакций. К такой же модели приводит задача о нарастании вклада в сберегательной кассе. При k<0 уравнение (4.2) описывает процесс радиоактивного распада, падения атмосферного давления с высотой, процесс разрядки конденсатора

через сопротивление и другие.		Разделяя	переменные,
находим у = Сеkx.
Решение,	удовлетворявшее		начальным
условиям
уо= у(хо), имеет вид у=yоek(x-xo). При			k>0 формула
показывает экспоненциальное		нарастание величины у.

При к<0 экспоненциальное убывание. Таким образом, решение уравнения (4.2) позволяет полностью охарактеризовать изучаемый процесс.

Пример1. Найти общий интеграл уравнения

(3+ех)уу’=ех

Ре ш е н и е. Это уравнение является уравнением

сразделяющимися переменными. Разделяем переменные

yy'

e x

ydy

e x

Интегрируя левую часть этого уравнения по у, а

правую по х, получим

общий

интеграл исходного

дифференциального уравнения

ydy

y2		ex )
	ln(3		C
2

y2		ex )
	ln(3		C
2

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду

x f	y	или	М(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,

	x

где М(x,y) и N(x,y) – однородные функции одного

порядка, т.е. существует такое m,	что
M(tx,ty) = tmM(x,y) и	N(tx,ty) = tmN(x,y).

С помощью подстановки y=tx, где t=t(x), однородные уравнения преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными. К однородным уравнениям приводятся и уравнения вида

a1 x b1 y c1

a2 x

b2 y

Если

a1 .b1

0, то

полагая

x = u

+ , y

= v

a2 b2

(постоянные

и определяются из системы уравнений

a1 +b1 +c1=0,

a2 +b2 +c=0, )

получим однородное

дифференциальное

уравнение

относительно

переменных u

и v.

При

a1 .b1

a2 b2

получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение

xyx2 y 2 y .

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в виде

y	1	y	2	y	.
y	1				.
		x		x

Так

как

уравнение однородное,

то

положим

или y = ux. Тогда

u .

Подставляя в

уравнение выражение для y и y , получим

u 2 .

Разделяем переменные:

u 2

Отсюда интегрированием находим

arcsinu

ln | x | ln C1

(С1 > 0) или arcsinu

ln C1 | x | .

Так как C1 | x |

C1 x , то обозначая

C , получим

arcsinu lnCx ,

, будем

где | ln Cx |

или e 2

e 2 . Заменяя u на

иметь общий интеграл:

Источник: https://studfile.net/preview/16565560/

Смотрите также:

2731
imunnaya_s-ma1
Reyting_1_testy_vnachale
Алгоритм работы отдела транспортной логистики производственного предприятия
Естественные основания морали в свете современных научных исследований
Индекс жизненной удовлетворенности
Индексный метод в изучении производственных показателей (на примере основных производственных фондов)
ЛР-4 Корнаухова БТПп-16-01 статистика
Особенности правового статуса несовершеннолетних
Переход к внешнему управлению как метод предотвращения банкротства предприятия