Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

называемые уравнениями Бернулли. Достаточно сделать замену х = у1-n. Однако решение уравнения Бернулли удобнее искать в виде у = uv, не приводя к линейному.

Уравнение Рикатти

у'+ а(х) у + b(х) у2 = с(х)

вобщем случае не интегрируется в квадратурах. Но если известно одно частное решение у = у(х), то заменой у = у + z уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. Частное решение иногда можно подобрать, исходя из

вида свободного члена уравнения.

Например, для уравнения у'+у=2/х2 будем искать у

ввида у=k/х. Подставляя в уравнение, находим k=-1 и k=2. Замена у = z-1/х приводит исходное уравнение к

является следствием нарушения непрерывности в правой части уравнения при х=0.

Пример 1. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y

Ищем общее решение данного уравнения в виде x u(y)v(y)

Берѐм любое частное решение этого уравнения,

Следовательно, общим решением будет функция

uu 2 ln x . Откуда, разделяя переменные и интегрируя, v2

получим

Так что общее решение уравнения имеет вид

x

y 1 cx ln x .

Пример 3. Найти решение задачи Коши

y’+y=xy2 , y(0)=1.

Р е ш е н и е. Уравнение Бернулли будем интегрировать с помощью подстановки y=uv. Тогда

y’=u’v+uv’. И после подстановки первоначальное уравнение примет вид:

u’v + uv’ +uv = xu2v2

u’v + u(v’ +v) = xu2v2 (*)

Приравняем к нулю выражение стоящие в скобках

Из общего решения выберем одно частное уравнение v=e-x

Подставляя v в уравнение (*) , получим новое уравнение

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его

Следовательно, общее решение первоначального уравнения

e x

y xe x e x C .

Для того, чтобы найти С, воспользуемся начальным условием.

1

y x 1 .

1.6 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.