Материал: Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

arcsin	y	ln Cx .
	x

Отсюда ,общее решение будет:		y xsinlnCx .
При разделении переменных мы делили обе части

уравнения на произведение		x 1 u 2 , поэтому могли

потерять решения, которые обращают в нуль его

сомножители. Положим теперь		x = 0 и	1 u 2	0 .
Но x = 0 не является решением уравнения, а из
второго получаем, что 1	y 2	0 ,	откуда	y	x .
второго получаем, что 1	x2	0 ,	откуда	y	x .
	x2

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции y = - x и y = x являются решениями уравнения.

Функции y = - x и y = x являются особыми решениями данного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

x y 2 dx x y 4 dy 0 .

(1)

Р е ш е н и е. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

x y 2 0 . x y 4 0

Определитель этой систем:

			1	1	2	0 .
			1	1	2	0 .
			1	1
Следовательно,		система		имеет единственное			решение
x0	1 , y0 3 .	Делаем замену x				1, y	3 .

Тогда уравнение (1) примет вид
d	d	0	(2)

Уравнение (2) является однородным уравнением.

Полагая

, получим

(

u)d + (

u )(

du + u d ) = 0

Откуда

(1 + 2u – u2)d

(1 - u)du = 0.

Разделяем переменные

du 0 .

u 2

Интегрируя, найдѐм

ln | |

ln | 1 2u u 2

| ln C ;

2 (1 2u u 2 ) C .

Возвращаемся к переменным x, y:

x 1	2	1 2	y	3		y	3 2	C
x 1		1 2	x	1		x	1 2	C
			x	1		x	1 2
или
x 2		2xy y 2			4x 8 y C .

Пример 3. Решить уравнение

x y 1 dx 2x 2 y 1 dy 0

Р е ш е н и е. Система линейных алгебраических уравнений

x y 1 0

2x 2 y 1 0

несовместна. Определитель системы

1 1

2 2

В этом случае метод, применѐнный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку

x + y = z, dy = dz – dx.

Уравнение примет вид

(2 – z)dx + (2z – 1)dz = 0.

Разделяя переменные, получим

dx	2z	1	dz	0 .
dx	z	2	dz	0 .
	z	2
Отсюда
x 2z	3ln \| z			2 \| C .

Возвращаясь к переменным x, y получим общий интеграл данного уравнения

x 2y 3ln | x y 2 | C .

1.5. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся

к ним

Уравнения вида

y (х) + а(х)у(х) + b(х)=0

(5.1)

называются линейными уравнениями первого порядка. При b(х)=0 уравнение (5.1) называется однородным уравнением. Существует несколько методов решения этого уравнения. Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных, предложенный Ж.Л Лагранжем. Решение однородного уравнения представляется, очевидно, формулой

		y0 (x) Ce			a(x)dx .
Решение уравнения (5.1) находят в виде
y(x)	C(x)e		a(x)dx .			(
5.2)
Подставляя	(5.2)	в		(5.1), получаем уравнение
		dC		b(x)e	a(x)dx	.

		dx
		dx
Откуда C(x)	C	b(x)e a(x)dx			и, следовательно, общее
решение уравнения (5.1) имеет вид

y(x) e

a(x)dx C

b(x)e a(x)dx .

(5.3)

Чаще используется метод И. Бернулли. В этом случае решение находят в виде у(х) = u(x)v(x). Подставляя в уравнение, получим

a(x)v

b(x).

Выберем теперь v так, чтобы

a(x)v

т.е. выбираем функцию

v(x)=

e a(x)dx

как

решение

однородного

уравнения.

Функцию u(х) определяем из оставшегося уравнения

b(x),

т.е.

b(x)e a(x)dx .

Откуда, u(х) = С +

b(x)e a(x)dx . Перемножая функции

u(х) и v(x), приходим к (5.3).

Нелинейное уравнение

p(y)x

q(y)

сводится к линейному, если переменную х рассматривать как функцию аргумента у:

	dx	p(y)x q(y).

	dy
	dy

К линейным приводятся и уравнения вида

Источник: https://studfile.net/preview/16565560/

Смотрите также:

2731
imunnaya_s-ma1
Reyting_1_testy_vnachale
Алгоритм работы отдела транспортной логистики производственного предприятия
Естественные основания морали в свете современных научных исследований
Индекс жизненной удовлетворенности
Индексный метод в изучении производственных показателей (на примере основных производственных фондов)
ЛР-4 Корнаухова БТПп-16-01 статистика
Особенности правового статуса несовершеннолетних
Переход к внешнему управлению как метод предотвращения банкротства предприятия