Материал: Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

120		ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ			[гл. VI
Для коэффициента момента трения, определяемого фор
мулой (2.15), получим выражение
		V £я=*2”т4-		$//? = 0,02		<6-з>
На рис.		36 эта формула для случая				изо
бражена кривой 7, которая примерно до				R= 104*хорошо
совпадает с		измерениями Цумбуша 4).	Шультц-Грунов2) по
казал,	что	и для уточненного решения		сохраняется		фор
мула (6.3),		а Су3) нашел, что она	справедлива		также для
случая	наличия небольших протечек в		зазоре между диском

и кожухом. Для больших зазоров Су дает поправочный множитель, уменьшающий момент трения.

При больших числах Рейнольдса течение в зазоре ста новится турбулентным. Если при этом еще не появляются отдельные пограничные слои на стенках диска и кожуха, то для определения сил трения естественно применить со ответствующие соотношения для турбулентного течения

Куэтта		(см. § 44). Возьмем формулу (7.87) из § 44, понимая
в	ней	под г»! окружную скорость диска на данном радиусе,
а	под	соответствующую динамическую			скорость	=
= 1/		JLl . Тогда,	аппроксимируя	эту формулу в области
	r	Р	от Rs = 104 до	Rs — 10е	степенной	за
чисел		Рейнольдса
висимостью от Rs,			найдем следующее выражение для коэф
фициента момента трения:
				\ — 0 2		(6.4)

	Полученное соотношение согласуется с данными экспери
ментов, которые описаны в статье				Пантелла4). Разумеется,

оно применимо лишь для определенной области чисел Рейнольдса, когда еще не появились отдельные пограничные

слои	на стенках диска и кожуха.
4)	Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя,			ИЛ, 1956.
2)	Sc h u 11 z - О гu no w F.,	Der	Reibungswiderstand		rotieren-
der Scheiben in Gehausen, ZAMM, t.			15, № 4, 1935.	rotating disc,
3)	Soo S. L., Laminar flow	over an enclosed
Trans. ASME, t. 80, № 2, 1958.		fiber	Scheibenreibung,		Forschung
4)	Pan tell K-, Versuche
a. d. Geb. d. Ingwes., t. 16, № 4, 1949—1950.

§ 29]

ВРАЩЕНИЕ ДИСКА В УЗКОМ КОЖУХЕ

121

^д_(сц/2)

		1	1	1	1	1 ...-
	о-Опытные данные ЦумОуша для Мы
у	в-	”	"	"	для патоки (-^-0,02)
\ а ©	в-	"	"	ч	для машинного масла

о-Опыты Шульти - Груь/ода 6 бо,.здухе

\ф

еэ

•X

•"«ч

——

Рис. 36. Сопротивление трения диска, вращающегося в кожухе. Кривая 1 по формуле (6.3); кривая 2 (сплошная) — по формуле Окайа — Хасегава (6.24); кривая 2 (пунктир) —по расчету Шультц-Грунова для ламинарного ре жима (без учета разности между радиусами диска и кожуха); кривая 3 (сплошная) — по формуле Окайа — Хасегава (6.33); кривая.? (пунктир) —по расчету Шультц-Грунова для турбулентного режима (без учета разности

между радиусами диска и кожуха).

122

ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

[ГЛ. VI

§30. Ламинарное течение между вращающимся

инеподвижным дисками неограниченных размеров

Стюартсон1),		а	также			Гроне2) рассматривали				задачу
о течении между		двумя		неограниченными пластинами, от
стоящими друг	от друга			на		расстоянии s, из			которых одна
вращается, а другая неподвижна.
Первоначально решение поставленной задачи было
качественно рассмотрено				Бэтчелором 3).
Для тождественного удовлетворения уравнению нераз-
рывности вводится		функция тока Ф,					так	что
			1 дФ				1	дФ		(6.5)
	■и, —---- ,			’	vr=------------ Д-.
	2	г	dr			r	г	dz
.Тогда если еще ввести функции								и	(у)	такие>
что
	Ф =					=				(6.6)
то получим из	третьего			уравнения			системы (1.1) выражение
для давления в	виде
A==0)2r2£^_2uPs'^-— +								R = -^,		(6-7)

а первые два уравнения системы (1.1) превратятся в два обыкновенных дифференциальных уравнения:

	Д-Г+2//" + (//)2 — G2 + 2f = 0,			\|
	,		}	I	(6-8)
	J_G"_2074-20/' = о,
где штрихи обозначают дифференцирование по C = z/s.
t)	Stewartson К., On the	flow between two rotating coa
xial discs Proc. Cambr...Philos. Soc.,		t. 49,	№ 2, 1953.	in	einer kreis-
2)	О г о h n e D,, Ober die laminare		Stromung
zilindrischen Dose mit rotierendem Deckel,			Nachrichten		Acad. Wiss.

Gottingen Math. Phys. Klasse, № 12, 1955.

3) Batchelor G. K., Note on a class solutions of the Navier— Stokes equations representing steady rotationally — simmetric flow, Quart. Journ. Meeh. appl. Mathem., t. 4, № 1, 1951.

§ 30]	ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДИСКАМИ		123
Граничные условия задачи будут:
	на неподвижном диске (С = 0)
	/(0)=/'(0) = 0,	G(0) —0,
	на вращающемся диске (С=1)		(6-9)
	на вращающемся диске (С=1)	0(1)= 1.
	7£1)=/'(1)=0,	0(1)= 1.
При не очень больших числах R можно, по Стюартсону,
решение разложить в ряд по числам R:
	f (Q = RA (Q 4- R3/s (Q + R75 (0 + • • • ■		1
	G(Q = go©+R2^G)+RW)+		(6-ю)
	E = Eo+R2£2+R%+ ....		]

где функции fn и gn удовлетворяют граничным условиям (6.9). Подстановка (6.10) в уравнения (6.8) дает, по Гроне, следующее решение:

/(С) = -^(С5_ зсз+2С2)+ ■■■’

с<9 = <-Т»(7С’-4‘ + С‘-4)+--- <6Л1>

Для весьма больших чисел R получается, по Бэтчелору, течение с образованием пограничных слоев на стенках и вращающимся как твер дое тело ядром. Течение в меридиональной плос кости принимает вид, указанный на рис. 37.

Ряды (6.11) сходятся до R^20, а модель Бэт

челора действует при R > 1000. Поэтому Гроне развивает иной метод расчета при умеренных чис лах R. Результаты рас

Рис. 37. Схема линий тока для больших чисел Рейнольдса и неограниченных дисков (по Бэтчелору).

четов	изображены	на
рис.	38, 39 и 40.	Как видно, для очень малых значений R

справедливо допущение о линейности профиля окружных

124

ДИСК В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

[ГЛ. VI

Рис. 38. Изменение функции тока / в осевом направлении (по Гроне).

Рис. 40. Зависимость			коэффициента
давления от	числа	п	*	<°52
		Рейнольдса		—

(по Гроне).

Рис. 39. Изменение угЛЪвой скорости в осевом зазоре (по Гроне).

Рис. 41. Коэффициент момента сопро-

. 2М / т \ „

тивления Д =——т I—) смоченной с prsa>J xrcs '

одной стороны поверхности диска от оси до радиуса т в зависимости от чи-

ела Рейнольдса —(по Гроне).

§ 31] ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ НАД НЕПОДВИЖН. ОСНОВАН. 125

скоростей и	отсутствии радиальных составляющих,	т. е. те
допущения,	которые легли в основу вывода формулы (6.3).
На рис.	41 представлены подсчитанные Гроне	значения

коэффициента момента сопротивления смоченной с одной

стороны	поверхности диска.
Заметим, что Стюартсон отрицает вывод Бэтчелора об
образовании пограничного слоя на			неподвижной		стенке	при
больших	числах R	и приводит	некоторые	соображения
в обоснование своего		утверждения)*. В то		же	время	из

расчетов Гроне следует (см. рис. 39), что предсказание Бэтчелора оправдано.

§ 31. Вращательное движение жидкости над неподвижным основанием

Для выяснения характера течения вблизи неподвижной

стенки при	больших числах	Рейнольдса	рассмотрим задачу
о вращательном движении		жидкости	над	неподвижным
основанием.	В случае вращения жидкости над			неподвижным

основанием (полагаем его расположенным горизонтально) для частиц, находящихся вдали от стенки, центробежная сила и радиальный градиент давления взаимно уравновешиваются. Для частиц жидкости, находящихся вблизи стенки, окруж ная скорость благодаря торможению уменьшается, центро


бежная сила еще	более значительно уменьшается, в				то
время как радиальный градиент давления			остается тем		же,
что и вдали от стенки.		В результате	этого	возникает
радиальное течение	вблизи	стенки, направленное		внутрь,

к оси вращения. Это радиальное течение в свою очередь вследствие условия неразрывности вызывает восходящее течение в осевом направлении.

На большом расстоянии			от	стенки, где отсутствует
трение, имеем:
	1	др	_ v*
и так как	Р	дг	г	'
и так как	= го>, то

=		<6Л2>
1) Интересен комментарий Мура по	поводу этой	дискуссии
в обзорной статье о пространственном пограничном		слое,	поме
щенной в сборнике «Advances in Applied	Mechanics.»,	т. IV,	1956.

126	ДИСК	В	ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ	[ГЛ. VI
Решая	задачу	в	рамках теории пограничного	слоя,

примем, что этот градиент давления существует по всему сечению пограничного слоя. Подставив это выражение в си стему уравнений (1.1) и применив подстановку (2.6), по

лучим	систему уравнений:
	Z72 _ О2 4- HF' — F" + 1 = О,
		2GF + /7G' — G" = 0,			(6.13)
			2F-\|-tf' = 0.
Граничные условия задачи примут				вид:
	F ~G = H—Q		при С = 0, 1		(6-14)
	F = О,	G=1	при £=сю. /

У. Бедевадт1) решил систему (6.13), представив подобно
Кокрэну функции F,		G и Н в	виде степенных		рядов вблизи
С = 0	ив виде асимптотических			разложений	для £=оо.
Путем	кропотливых	вычислений		им были найдены значения
искомых функций, которые приведены в таблице					10 и графи

чески изображены на рис. 42.J Полярная диаграмма, изо браженная на рис. 43, представляет изменение результирую щей горизонтальной скорости v с составляющими vr и Угол между вектором v и окружным направлением зависит от безразмерной высоты С над основанием. Наибольшее отклонение от окружного направления имеется вблизи стенки: оно равно 50,6° и направлено внутрь. Наибольшее отклоне

ние	наружу,	равное 7,4°,			получается	на высоте	С = 4,63.
Любопытно		также,	что	осевая составляющая			есть	функ
ция	только	от С,	но	не	зависит от	расстояния г		от оси

вращения, причем всюду > 0, т. е. имеется восходящее движение, затухающее вдали от основания.

Полное количество жидкости, протекающей к оси враще ния через поверхность цилиндра радиуса R, равно

Q = 2т.R J vzdz — 2т.R2 Ушу J F (С) Л =

г = о

= — t.R2 Ушу Н(сю) = — 1,349л/?2 Ушу . (6.15)

х) Bodewadt U., Drehstromung iiber festem Grunde, ZAMM, t. 20, 1940.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/124938

Смотрите также:








Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал